2006-福建卷理-02 单-等差数列的性质

本题导读

本题考查等差数列的基础计算。主要通过已知项的关系求出等差数列的公差或利用等差数列的性质直接求出目标代数式的值。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)）在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} + a_{3} = 13$ ，则 $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 等于()

A. 40　　　　　　　B. 42　　　　　　　C. 43　　　　　　　D. 45

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：基本量法。将已知条件全部转化为首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 的线性方程，求出 $d$ 后再带入目标式中计算。

方法二：性质法。利用等差数列的性质 $a_{2} + a_{3} = a_{1} + a_{4} = 13$ ，可直接求出 $a_{4}$ 的值，再结合中项性质 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 3 a_{5}$ 或利用公差快速求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：基本量法（常规解法）

设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 。由 $a_{2} + a_{3} = 13$ 得： $(a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) = 13 ⟹ 2 a_{1} + 3 d = 13$

将 $a_{1} = 2$ 代入上式： $2 \times 2 + 3 d = 13 ⟹ 3 d = 9 ⟹ d = 3$

则所求目标式为： $a_{4} + a_{5} + a_{6} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 4 d) + (a_{1} + 5 d) = 3 a_{1} + 12 d$ 将 $a_{1} = 2, d = 3$ 代入： $3 \times 2 + 12 \times 3 = 6 + 36 = 42$

方法二：利用等差数列性质（秒杀法）

根据等差数列性质，由 $a_{2} + a_{3} = a_{1} + a_{4}$ 可得： $2 + a_{4} = 13 ⟹ a_{4} = 11$

又由 $a_{2} + a_{3} = 13 ⟹ (a_{4} - 2 d) + (a_{4} - d) = 13 ⟹ 2 a_{4} - 3 d = 13$ 将 $a_{4} = 11$ 代入得 $22 - 3 d = 13 ⟹ 3 d = 9$ 。

目标式： $a_{4} + a_{5} + a_{6} = a_{4} + (a_{4} + d) + (a_{4} + 2 d) = 3 a_{4} + 3 d = 3 \times 11 + 9 = 42$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ；等差数列对称项性质（若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ ）。

核心方法：首项与公差的“基本量法”是解决数列问题的万能通法。

避坑指南：计算 $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 转化为 $a_{1}$ 和 $d$ 时，注意项数对应的 $d$ 的系数不要数错（如将 $a_{4}$ 记为 $a_{1} + 4 d$ 等常见笔误）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于高考中标准的低难度数列小题，直接改编自人教A版选择性必修第二册关于等差数列的基本练习题。 结论推广：在等差数列 ${a_{n}}$ 中，其连续相同项数的和（如 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ ）依然构成等差数列，且公差为 $n^{2} d$ 。本题中 $A_{1} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ， $A_{2} = a_{4} + a_{5} + a_{6}$ ，则 $A_{2} - A_{1} = 9 d$ 。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2007-辽宁文-05 单-等差数列和的性质

2007-重庆卷理-01 单-等差中项性质

2012-辽宁卷文-04 单-等差数列性质

∑ ( Math )

Explorer

2006-福建卷理-02 单-等差数列的性质

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

方法一：基本量法（常规解法）

方法二：利用等差数列性质（秒杀法）

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks