2006-福建文-22 解-递推数列证等差

本题导读

本题考查等比数列的定义。核心在于取对数化等式再相邻相减。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=3$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

(1) 证明：数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 是等比数列；

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(3) 若数列 $\{b_n\}$ 满足 $4^{b_1-1}\cdot 4^{b_2-1}\cdots 4^{b_n-1}=(a_n+1{)}^{b_n}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），证明：$\{b_n\}$ 是等差数列。

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 递推式变形：$a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)$，首项 $a_2-a_1=2$。
2. (2) 累加：$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{2}^k=1+(2^n-2)=2^n-1$。
3. (3) 由 $a_n+1=2^n$，条件化为 $4^{(b_1+\cdots +b_n)-n}=2^{n{b}_n}$，即 $2[(b_1+\cdots +b_n)-n]=n{b}_n$ ①。
4. 写出 $n+1$ 的等式 ②，②-① 得 $n{b}_n-(n-1)b_{n+1}=2$；再错一位相减得 $b_{n+2}-2b_{n+1}+b_n=0$。

✅【答案】

Success

(1) 首项 $2$、公比 $2$ 的等比数列

(2) $a_n=2^n-1$

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ 得 $a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)$。 又 $a_2-a_1=2\ne 0$，所以 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 是以 $2$ 为首项、$2$ 为公比的等比数列。 (2) 由 (1) 知 $a_{n+1}-a_n=2^n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。 累加：$a_n=a_1+(a_2-a_1)+\cdots +(a_n-a_{n-1})=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}=1+\frac{2(1-2^{n-1})}{1-2}=2^n-1$。 (3) 由 (2)，$a_n+1=2^n$。条件 $4^{b_1-1}\cdot 4^{b_2-1}\cdots 4^{b_n-1}=(a_n+1{)}^{b_n}$ 化为 $4^{(b_1+b_2+\cdots +b_n)-n}=2^{n{b}_n}$，即 $2[(b_1+b_2+\cdots +b_n)-n]=n{b}_n$ ①。 当 $n+1$ 时：$2[(b_1+b_2+\cdots +b_{n+1})-(n+1)]=(n+1)b_{n+1}$ ②。 ②-①：$2(b_{n+1}-1)=(n+1)b_{n+1}-n{b}_n$，整理得 $n{b}_n-(n-1)b_{n+1}=2$ ③。 将 ③ 中 $n$ 换为 $n+1$：$(n+1)b_{n+1}-n{b}_{n+2}=2$ ④。 ③、④ 右边相等：$n{b}_n-(n-1)b_{n+1}=(n+1)b_{n+1}-n{b}_{n+2}$， 整理得 $n{b}_{n+2}-2n{b}_{n+1}+n{b}_n=0$，即 $b_{n+2}-2b_{n+1}+b_n=0$， 所以 $b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），故 $\{b_n\}$ 是等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列证等差

核心方法：取对数化等式再相邻相减

避坑指南：条件化为 $2[(b_1+\cdots +b_n)-n]=n{b}_n$；$n$ 与 $n+1$ 两式相减得 $(n+1)b_{n+1}-n{b}_n-2=0$，再错一位相减得 $b_{n+2}-2b_{n+1}+b_n=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自递推数列构造与等差证明，压轴数列题

结论推广: 指数式取对数化简推广到积式条件

方法推广: 相邻两式相减消去累积和，再错一位相减

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-20 解-递推数列等差等比
• 2008-安徽文-21 解-递推数列三问