2006-福建文-21 解-二次函数与根分布

本题导读

本题考查二次函数的解析式。核心在于解集定根再端点比远。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知 $f(x)$ 是二次函数，不等式 $f(x)<0$ 的解集是 $(0,5)$，且 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值是 $12$。

(1) 求 $f(x)$ 的解析式；

(2) 是否存在自然数 $m$，使得方程 $f(x)+\frac{37}{x}=0$ 在区间 $(m,m+1)$ 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有 $m$ 的值；若不存在，说明理由。

🔍【思路分析】

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1. 解集 $(0,5)$ 说明两根为 $0$、$5$ 且开口向上：$f(x)=ax(x-5)$（$a>0$）。
2. 对称轴 $x=\frac{5}{2}$，$|-1-\frac{5}{2}|>|4-\frac{5}{2}|$，最大值 $f(-1)=6a=12$，$a=2$。
3. (2) 方程化为 $h(x)=2x^3-10x^2+37=0$，$h^{\prime }(x)=2x(3x-10)$。
4. $h(3)=1>0$，$h\left(\frac{10}{3}\right)=-\frac{1}{27}<0$，$h(4)=5>0$：两根分别在 $\left(3,\frac{10}{3}\right)$、$\left(\frac{10}{3},4\right)$，故 $m=3$。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=2x(x-5)=2x^2-10x$

(2) 存在，$m=3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)$ 是二次函数且 $f(x)<0$ 的解集为 $(0,5)$，故 $f(x)=ax(x-5)$，$a>0$。 对称轴 $x=\frac{5}{2}\in [-1,4]$，开口向上，最大值在离对称轴较远的端点取得。 $|-1-\frac{5}{2}|=\frac{7}{2}>|4-\frac{5}{2}|=\frac{3}{2}$，故最大值 $f(-1)=a(-1)(-6)=6a=12$，$a=2$。 所以 $f(x)=2x(x-5)=2x^2-10x$。 (2) 方程 $f(x)+\frac{37}{x}=0$（$x\ne 0$）化为 $2x^2-10x+\frac{37}{x}=0$，即 $h(x)=2x^3-10x^2+37=0$。 $h^{\prime }(x)=6x^2-20x=2x(3x-10)$：$x<0$ 时 $h^{\prime }>0$ 递增；$0<x<\frac{10}{3}$ 时 $h^{\prime }<0$ 递减；$x>\frac{10}{3}$ 时 $h^{\prime }>0$ 递增。 $h(3)=54-90+37=1>0$，$h\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{2000}{27}-\frac{1000}{9}+37=\frac{2000-3000+999}{27}=-\frac{1}{27}<0$， 故在 $\left(3,\frac{10}{3}\right)$ 内恰有一根；$h(4)=128-160+37=5>0$，故在 $\left(\frac{10}{3},4\right)$ 内恰有一根。 （另在 $(-\infty ,0)$ 内有一负根，不在任何 $(m,m+1)$，$m\in \mathbf{N}$ 内。） 所以方程 $f(x)+\frac{37}{x}=0$ 在区间 $(3,4)$ 内有且只有两个不等的实数根，存在自然数 $m=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与根分布

核心方法：解集定根再端点比远

避坑指南：$f(x)=ax(x-5)$（$a>0$），对称轴 $x=\frac{5}{2}$；$|-1-\frac{5}{2}|>|4-\frac{5}{2}|$，最大值在 $x=-1$：$f(-1)=6a=12$ 得 $a=2$；(2) 构造 $h(x)=2x^3-10x^2+37$ 用导数定根分布 $m=3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二次函数解析式与方程根分布，函数综合大题

结论推广: 三次多项式用导数定根的分布推广到高次方程

方法推广: 解集定两根，最大值看离对称轴远近

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点
• 2008-江西文-12 单-二次函数恒成立