2006-福建文-20 解-椭圆相切圆与中点弦

本题导读

本题考查椭圆的方程与性质。核心在于圆心距等于半径与点差法。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点为 $F$，$O$ 为坐标原点。

(1) 求过点 $O$、$F$，并且与椭圆的左准线 $l$ 相切的圆的方程；

(2) 设过点 $F$ 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点，并且线段 $AB$ 的中点在直线 $x+y=0$ 上，求直线 $AB$ 的方程。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=2$，$c=1$，$F(-1,0)$，左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-2$。
2. (1) 圆过 $O$、$F$，圆心在 $OF$ 中垂线 $x=-\frac{1}{2}$ 上，设圆心 $\left(-\frac{1}{2},k\right)$；相切则 $R=\left|-\frac{1}{2}+2\right|=\frac{3}{2}$。
3. $\frac{1}{4}+k^2=\frac{9}{4}\Rightarrow k=\pm \sqrt{2}$，写出两圆。
4. (2) 点差法：$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{2}+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$，代入 $x_0+y_0=0$ 得 $k=\frac{1}{2}$，直线 $x-2y+1=0$。

✅【答案】

Success

(1) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\sqrt{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ 或 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\sqrt{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$

(2) $x-2y+1=0$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 中 $a^2=2$，$b^2=1$，$c=1$，左焦点 $F(-1,0)$，左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-2$。 (1) 圆过 $O(0,0)$ 与 $F(-1,0)$，圆心在线段 $OF$ 的中垂线 $x=-\frac{1}{2}$ 上，设圆心 $\left(-\frac{1}{2},k\right)$。 圆与左准线 $x=-2$ 相切，半径 $R=\left|-\frac{1}{2}-(-2)\right|=\frac{3}{2}$。 又圆心到 $O$ 的距离等于 $R$：$\frac{1}{4}+k^2=\frac{9}{4}$，$k^2=2$，$k=\pm \sqrt{2}$。 所求圆的方程为 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\sqrt{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ 或 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\sqrt{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$。 (2) 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，中点 $(x_0,y_0)$，则 $x_1+x_2=2x_0$，$y_1+y_2=2y_0$。 两式相减：$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{2}+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$，即 $x_0(x_1-x_2)+2y_0(y_1-y_2)=0$。 所以 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{x_0}{2y_0}$。 中点在 $x+y=0$ 上即 $x_0=-y_0$，故 $k=\frac{1}{2}$。 直线过 $F(-1,0)$：$y=\frac{1}{2}(x+1)$，即 $x-2y+1=0$。 （检验：代入椭圆得 $3x^2+2x-3=0$，$\Delta >0$，中点 $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ 满足 $x_0+y_0=0$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆相切圆与中点弦

核心方法：圆心距等于半径与点差法

避坑指南：圆过 $O$、$F$ 则圆心横坐标 $-\frac{1}{2}$，与准线 $x=-2$ 相切则 $R=\frac{3}{2}$；(2) 设 $A$、$B$ 用点差法：$k=\frac{1}{2}$，直线 $x-2y+1=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自椭圆准线与圆相切、中点弦，解析几何综合

结论推广: 点差法求中点弦斜率推广到椭圆双曲线

方法推广: 圆心在弦的中垂线上，准线距离即半径

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2008-四川文-22 解-椭圆准线与向量最值