2006-福建文-19 解-四面体垂直与角距

本题导读

本题考查线面垂直的判定。核心在于等腰三线合一再建系。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 如图，四面体 $ABCD$ 中，$O$、$E$ 分别是 $BD$、$BC$ 的中点，$CA=CB=CD=BD=2$，$AB=AD=\sqrt{2}$。

(1) 求证：$AO\perp$ 平面 $BCD$；

(2) 求异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成角的大小；

(3) 求点 $E$ 到平面 $ACD$ 的距离。

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 等腰 $△ABD$ 三线合一得 $AO\perp BD$；$AO=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}=1$，$CO=\sqrt{C{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{3}$。
2. $A{O}^2+C{O}^2=1+3=4=A{C}^2\Rightarrow AO\perp CO$，加上 $AO\perp BD$ 得线面垂直。
3. (2) 以 $O$ 为原点、$OB$、$OC$、$OA$ 为轴建系，$AB=(1,0,-1)$，$CD=(-1,-\sqrt{3},0)$，夹角余弦 $\frac{\sqrt{2}}{4}$。
4. (3) 求 $E$ 坐标与平面 $ACD$ 法向量 $(-\sqrt{3},1,\sqrt{3})$，距离 $=\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $\frac{\sqrt{21}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $AB=AD=\sqrt{2}$，$O$ 为 $BD$ 中点，所以 $AO\perp BD$。 在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中 $OB=\frac{BD}{2}=1$，$AO=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}=1$。 同理 $CB=CD$，$CO\perp BD$，$CO=\sqrt{C{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{3}$。 在 $△AOC$ 中，$A{O}^2+C{O}^2=1+3=4=A{C}^2$，所以 $AO\perp CO$。 又 $BD\cap CO=O$，$BD$、$CO\subset$ 平面 $BCD$，所以 $AO\perp$ 平面 $BCD$。 (2) 以 $O$ 为原点，$OB$、$OC$、$OA$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。 则 $B(1,0,0)$，$D(-1,0,0)$，$C(0,\sqrt{3},0)$，$A(0,0,1)$，$E\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。 $\overrightarrow{AB}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{CD}=(-1,-\sqrt{3},0)$。 $\cos ⟨\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}⟩=\frac{|-1|}{\sqrt{2}\times 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 所以异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$。 (3) $\overrightarrow{AC}=(0,\sqrt{3},-1)$，$\overrightarrow{AD}=(-1,0,-1)$。 设平面 $ACD$ 的法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\vec{n}\perp \overrightarrow{AC}$、$\vec{n}\perp \overrightarrow{AD}$ 取 $\vec{n}=(-\sqrt{3},1,\sqrt{3})$，$|\vec{n}|=\sqrt{7}$。 $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right)$，$|\overrightarrow{AE}\cdot \vec{n}|=\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$。 所以点 $E$ 到平面 $ACD$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四面体垂直与角距

核心方法：等腰三线合一再建系

避坑指南：$AB=AD$ 且 $O$ 为 $BD$ 中点 $\Rightarrow AO\perp BD$；$A{O}^2+O{C}^2=A{C}^2\Rightarrow AO\perp OC$；以 $O$ 为原点 $OB$、$OC$、$OA$ 为轴建系，异面角 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$，点面距 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自四面体垂直证明与空间角距离，立体几何大题

结论推广: 等腰三线合一证垂直推广到各类对称结构

方法推广: 先证三垂直再建系，坐标全部可算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角
• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角
• 2010-天津文-19 解-异面直线角与二面角