2006-福建文-16 填-三角最小值定参

本题导读

本题考查正弦型函数，以及三角函数的最值。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin \omega x$（$\omega >0$）在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最小值是 $-2$，则 $\omega$ 的最小值等于 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f$ 最小值 $-2$ 需 $\sin \omega x$ 在区间内取到 $-1$，即相位 $\omega x$ 取到 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$。
2. $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$ 时相位 $\omega x\in \left[-\frac{\omega \pi }{3},\frac{\omega \pi }{4}\right]$。
3. 取 $k=0$：需 $-\frac{\pi }{2}\in \left[-\frac{\omega \pi }{3},\frac{\omega \pi }{4}\right]$，即 $-\frac{\omega \pi }{3}⩽-\frac{\pi }{2}$，$\omega ⩾\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=2\sin \omega x$ 的最小值为 $-2$，当且仅当 $\sin \omega x=-1$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$ 内取到， 即存在 $k\in \mathbf{Z}$ 使 $\omega x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 对某 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$ 成立。 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$、$\omega >0$ 时，相位 $\omega x\in \left[-\frac{\omega \pi }{3},\frac{\omega \pi }{4}\right]$。 取 $k=0$：需 $-\frac{\pi }{2}\in \left[-\frac{\omega \pi }{3},\frac{\omega \pi }{4}\right]$，由 $\omega \pi /4>0$ 右端恒满足，左端要求 $-\frac{\omega \pi }{3}⩽-\frac{\pi }{2}$， 即 $\omega ⩾\frac{3}{2}$。故 $\omega$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$。 （检验：$\omega =\frac{3}{2}$ 时相位区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{8}]$，恰含 $-\frac{\pi }{2}$，$f_{\min }=-2$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角最小值定参

核心方法：最小值-2 定 sin=-1 覆盖

避坑指南：需 $-\frac{\pi }{2}\in [-\frac{\omega \pi }{3},\frac{\omega \pi }{4}]$，即 $-\frac{\omega \pi }{3}⩽-\frac{\pi }{2}$，$\omega ⩾\frac{3}{2}$；区间含 $-\frac{\pi }{2}$ 才能取到 $-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角函数在闭区间上的最值，逆定参问题

结论推广: 由最值反求 $\omega$ 推广到正弦型函数定参

方法推广: 区间必须覆盖到 $\sin =-1$ 的相位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-湖北文-07 单-图象平移与对称轴
• 2008-福建文-07 单-三角图象平移