2006-福建文-15 填-线性规划最大值

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知实数 $x$、$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}y⩽1,\\ y⩾|x-1|,\end{array}$ 则 $x+2y$ 的最大值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y⩾|x-1|$ 即 $y⩾x-1$（$x⩾1$）或 $y⩾1-x$（$x<1$），V 形上方。
2. 可行域为三角形，顶点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(2,1)$。
3. $z=x+2y$：$(1,0)$ 得 $1$，$(0,1)$ 得 $2$，$(2,1)$ 得 $4$，最大 $4$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

约束 $y⩽1$ 与 $y⩾|x-1|$。 $y⩾|x-1|$ 分两支：$x⩾1$ 时 $y⩾x-1$；$x<1$ 时 $y⩾1-x$。 可行域是以 $(1,0)$、$(2,1)$、$(0,1)$ 为顶点的三角形（含边界）。 目标函数 $z=x+2y$ 在顶点处取值：$(1,0)$ 得 $1$；$(2,1)$ 得 $2+2=4$；$(0,1)$ 得 $2$。 故最大值为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最大值

核心方法：画可行域平移目标线

避坑指南：可行域三角形顶点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(2,1)$，$x+2y$ 在 $(2,1)$ 取最大 $4$；$y⩾|x-1|$ 是 V 形上方别画反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自线性规划最值，含绝对值可行域

结论推广: V 形约束推广到含绝对值的非线性边界

方法推广: 顶点代入是最后防线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-02 单-线性规划最大值
• 2008-广东文-12 填-线性规划最大值