2006-福建文-13 填-二项式指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 展开式中 $x^4$ 的系数是 $\underline{}$。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(x^2{)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_5^r(-1{)}^r{x}^{10-3r}$。
2. 令 $10-3r=4$，$r=2$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_5^2(-1{)}^2=10$。

✅【答案】

Success

$10$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(x^2{)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_5^r(-1{)}^r{x}^{10-3r}$。 令 $10-3r=4$，得 $r=2$。 该项系数为 ${\mathrm{C}}_5^2(-1{)}^2=10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式指定项系数

核心方法：通项指数列方程

避坑指南：通项 ${\mathrm{C}}_5^r(-1{)}^r{x}^{10-3r}$，$10-3r=4$ 得 $r=2$，系数 ${\mathrm{C}}_5^2=10$；负号偶次幂为正别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二项式定理通项公式，指定项系数

结论推广: 含负号通项推广到分式指数幂

方法推广: 先写通项再定 $r$，符号随 $(-1{)}^r$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-湖南文-13 填-二项式系数比定n
• 2009-湖北卷文-11 填-二项式系数