2006-福建文-09 单-向量模长方程

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，$|\vec{a}|=3$，$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$，则 $|\vec{b}|$ 等于 ()

A. $5$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^{\circ }=-\frac{3}{2}|\vec{b}|$。
2. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-3|\vec{b}|+|\vec{b}{|}^2=13$。
3. 令 $t=|\vec{b}|$：$t^2-3t-4=0$，$(t-4)(t+1)=0$，$t=4$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由夹角 $120^{\circ }$：$\vec{a}\cdot \vec{b}=3|\vec{b}|\cos 120^{\circ }=-\frac{3}{2}|\vec{b}|$。 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-3|\vec{b}|+|\vec{b}{|}^2$。 由 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$，得 $|\vec{b}{|}^2-3|\vec{b}|-4=0$。 解得 $|\vec{b}|=4$（$|\vec{b}|=-1$ 舍），选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模长方程

核心方法：模平方展开解方程

避坑指南：$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+|\vec{b}{|}^2-3|\vec{b}|=13$，令 $t=|\vec{b}|$：$t^2-3t-4=0$，$t=4$；夹角 $120^{\circ }$ 则数量积为负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自向量模长与夹角，数量积运算核心题

结论推广: $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ 展开推广到 $|\vec{a}\pm \vec{b}|$ 全家桶

方法推广: 模平方是处理夹角与模的标准动作

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角
• 2011-湖北卷文-02 单-向量夹角