2006-福建文-08 单-受限排列计数

本题导读

本题考查排列组合，以及排列的应用。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 从 $4$ 名男生和 $3$ 名女生中选出 $3$ 人，分别从事三项不同的工作，若这 $3$ 人中至少有 $1$ 名女生，则选派方案共有 ()

A. $108$ 种　　　　B. $186$ 种　　　　C. $216$ 种　　　　D. $270$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选人：总数 ${\mathrm{C}}_7^3=35$，减去全男 ${\mathrm{C}}_4^3=4$，得至少 $1$ 女 $31$ 种。
2. 排工作：$3$ 人对应 $3$ 项不同工作，${\mathrm{A}}_3^3=6$。
3. 先选后排：$31\times 6=186$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

“至少有 $1$ 名女生”的对立事件是”全是男生”。 选人方式：${\mathrm{C}}_7^3-{\mathrm{C}}_4^3=35-4=31$ 种。 三项不同工作由选出的 $3$ 人分别承担，排列数 ${\mathrm{A}}_3^3=6$。 先选后排，选派方案共 $31\times 6=186$ 种，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：受限排列计数

核心方法：总数减全男对立事件

避坑指南：$({\mathrm{C}}_7^3-{\mathrm{C}}_4^3){\mathrm{A}}_3^3=(35-4)\times 6=186$；先选后排，“至少”用对立面最简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自排列组合应用题，“至少”型计数

结论推广: 先选后排推广到分组分配

方法推广: 对立面”全男”往往更快

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-09 单-排列容斥计数
• 2009-四川卷文-11 单-限制排列