2006-福建文-06 单-分式反函数

本题导读

本题考查反函数，以及分式函数。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 函数 $y=\frac{x}{x+1}$（$x\ne -1$）的反函数是 ()

A. $y=\frac{x}{1-x}$（$x\ne 1$）　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\frac{x}{x-1}$（$x\ne 1$）

C. $y=\frac{x-1}{x}$（$x\ne 0$）　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\frac{1-x}{x}$（$x\ne 0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原函数值域：$y=1-\frac{1}{x+1}\ne 1$，故反函数定义域为 $x\ne 1$。
2. 反解：$y(x+1)=x\Rightarrow x(y-1)=-y\Rightarrow x=\frac{y}{1-y}$。
3. 互换 $x$、$y$：$y=\frac{x}{1-x}$（$x\ne 1$）。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{x}{x+1}$（$x\ne -1$），值域为 $y\ne 1$。 反解：$y(x+1)=x$，即 $yx+y=x$，$x(1-y)=y$，$x=\frac{y}{1-y}$。 互换 $x$、$y$ 得反函数 $y=\frac{x}{1-x}$（$x\ne 1$），选 A。 （检验：$f^{-1}(f(x))=\frac{\frac{x}{x+1}}{1-\frac{x}{x+1}}=x$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式反函数

核心方法：反解 x 互换 x、y

避坑指南：由 $y=\frac{x}{x+1}$ 反解 $x=\frac{y}{1-y}$，反函数 $y=\frac{x}{1-x}$（$x\ne 1$）；反函数定义域=原函数值域 $y\ne 1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自分式函数反函数，教材基本题

结论推广: $y=\frac{x}{x+1}$ 型反解推广到一切分式线性函数

方法推广: 分子分离常数可快速看出值域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-06 单-指数型反函数
• 2008-安徽文-06 单-反函数求解