2006-福建文-05 单-补集与交集

本题导读

本题考查集合的运算，以及绝对值不等式。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知全集 $U=\mathbf{R}$，且 $A=\{x\mid |x-1|>2\}$，$B=\{x\mid x^2-6x+8<0\}$，则 $({\complement }_{U}A)\cap B$ 等于 ()

A. $[-1,4)$　　B. $(2,3)$　　C. $(2,3]$　　D. $(-1,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|x-1|>2\Rightarrow x<-1$ 或 $x>3$，故 ${\complement }_{U}A=[-1,3]$。
2. $x^2-6x+8<0\Rightarrow (x-2)(x-4)<0\Rightarrow B=(2,4)$。
3. $[-1,3]\cap (2,4)=(2,3]$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-1|>2$ 得 $x-1>2$ 或 $x-1<-2$，即 $x>3$ 或 $x<-1$，故 ${\complement }_{U}A=\{x\mid -1⩽x⩽3\}=[-1,3]$。 由 $x^2-6x+8<0$ 得 $(x-2)(x-4)<0$，即 $2<x<4$，故 $B=(2,4)$。 $({\complement }_{U}A)\cap B=[-1,3]\cap (2,4)=(2,3]$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：补集与交集

核心方法：先解不等式再取交

避坑指南：${\complement }_{U}A=\{x\mid |x-1|⩽2\}=[-1,3]$，$B=(2,4)$，交为 $(2,3]$；端点 $3$ 属于 $A$ 的补集别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自集合交补运算，绝对值不等式综合

结论推广: ${\complement }_{U}A\cap B$ 推广到三者混合运算

方法推广: 数轴标区间，端点逐一核对

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-02 单-集合补集交集
• 2010-山东卷文-01 单-补集运算