2006-湖南卷理-21 解-曲线焦点的坐标表示

本题导读

本题主要考查椭圆与抛物线的综合位置关系。核心在于利用公共弦交点相同的代数同解性，将几何条件转化为二次方程对应系数成比例模型，并通过高次方程的分步消元确定参数的存在性。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$, 抛物线 $C_2:(y-m{)}^2=2px(p>0)$, 且 $C_1$、 $C_2$ 的公共弦 $AB$ 过椭圆 $C_1$ 的右焦点.

（1）当 $AB\perp x$ 轴时, 求 $m$、 $p$ 的值, 并判断抛物线 $C_2$ 的焦点是否在直线 $AB$ 上;

（2）是否存在 $m$、 $p$ 的值, 使抛物线 $C_2$ 的焦点恰好在直线 $AB$ 上? 若存在, 求出符合条件的 $m$、 $p$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：由 $AB\perp x$ 轴知直线 $AB$ 为 $x=1$，联立椭圆方程求出交点 $A,B$ 的坐标。将交点坐标代入抛物线方程，解出 $m,p$。写出抛物线焦点坐标后代入直线方程验证。 第（2）问：设直线 $AB$ 的方程为 $x=ty+1$，分别与椭圆和抛物线联立得到两个关于 $y$ 的二次方程。利用公共弦交点相同的同解性，通过系数对应成比例建立方程组。结合焦点在直线上的几何条件 $p=2tm+2$，消元求解高次方程。

✅【答案】

Success

存在符合条件的 $m,p$ 值，其值为 $m=\frac{\sqrt{6}}{3},p=\frac{4}{3}$ 或 $m=-\frac{\sqrt{6}}{3},p=\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $C_1$ 中 $a^2=4,b^2=3⟹c=\sqrt{4-3}=1$，右焦点为 $F_1(1,0)$。 抛物线 $C_2$ 的焦点为 $F_2\left(\frac{p}{2},m\right)$。

（1）当 $AB\perp x$ 轴时，求 $m,p$ 及焦点判定

因为 $AB\perp x$ 轴且过 $F_1(1,0)$，所以直线 $AB$ 的方程为 $x=1$。 将 $x=1$ 代入椭圆 $C_1$ 的方程得： $\frac{1}{4}+\frac{y^2}{3}=1⟹y=\pm \frac{3}{2}$ 故公共弦端点为 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$，$B\left(1,-\frac{3}{2}\right)$。 将 $A,B$ 的坐标代入抛物线 $C_2$ 的方程得： $\{\begin{array}{l}{\left(\frac{3}{2}-m\right)}^2=2p\\ {\left(-\frac{3}{2}-m\right)}^2=2p\end{array}⟹{\left(\frac{3}{2}-m\right)}^2={\left(\frac{3}{2}+m\right)}^2⟹m=0$ 将 $m=0$ 代入可得 $2p=\frac{9}{4}⟹p=\frac{9}{8}$。 此时抛物线 $C_2$ 的焦点为 $F_2\left(\frac{9}{16},0\right)$。 由于 $\frac{9}{16}\ne 1$，焦点 $F_2$ 不在直线 $AB$（即 $x=1$）上。

（2）探究焦点恰好在直线 $AB$ 上的存在性

由（1）知，当 $AB\perp x$ 轴时焦点不在直线 $AB$ 上，故可设直线 $AB$ 的方程为 $x=ty+1$。 因为抛物线 $C_2$ 的焦点 $F_2\left(\frac{p}{2},m\right)$ 恰好在直线 $AB$ 上，代入直线方程得： $\frac{p}{2}=tm+1⟹p=2tm+2\text{(1)}$

联立直线 $x=ty+1$ 与椭圆 $C_1$ 方程 $3x^2+4y^2=12$，消去 $x$ 得： $(3t^2+4)y^2+6ty-9=0\text{(2)}$ 联立直线 $x=ty+1$ 与抛物线 $C_2$ 方程 $y^2-2my+m^2-2px=0$，消去 $x$ 得： $y^2-2(m+pt)y+m^2-2p=0\text{(3)}$ 因为 ② 与 ③ 有相同的根 $y_1,y_2$，故其对应项系数成比例： $\frac{3t^2+4}{1}=\frac{6t}{-2(m+pt)}=\frac{-9}{m^2-2p}$ 由此得到方程组： $\{\begin{array}{l}m+pt=\frac{-3t}{3t^2+4}\text{(4)}\\ m^2-2p=\frac{-9}{3t^2+4}\text{⑤}\end{array}$ 将 ① 式 $p=2tm+2$ 代入 ④ 式得： $m+(2tm+2)t=\frac{-3t}{3t^2+4}⟹m(1+2t^2)=\frac{-t(6t^2+11)}{3t^2+4}⟹m=\frac{-t(6t^2+11)}{(1+2t^2)(3t^2+4)}\text{⑥}$ 将 ① 式代入 ⑤ 式，并利用 ⑥ 式化简可得： $m^2-4tm-4=\frac{-9}{3t^2+4}$ 将 ⑥ 式代入左边化简得： $m^2-\frac{16}{(1+2t^2)(3t^2+4)}=\frac{-9}{3t^2+4}⟹m^2=\frac{7-18t^2}{(1+2t^2)(3t^2+4)}$ 结合 ⑥ 式的平方，两式相等得： $\frac{t^2(6t^2+11{)}^2}{(1+2t^2{)}^2(3t^2+4{)}^2}=\frac{7-18t^2}{(1+2t^2)(3t^2+4)}⟹t^2(6t^2+11{)}^2=(7-18t^2)(1+2t^2)(3t^2+4)$ 展开并整理得关于 $t^2$ 的高次方程： $144(t^2{)}^3+288(t^2{)}^2+116(t^2)-28=0⟹36(t^2{)}^3+72(t^2{)}^2+29(t^2)-7=0$ 因式分解得： $(6t^2-1)(6t^4+13t^2+7)=0$ 由于 $t^2\ge 0$ 且 $6t^4+13t^2+7>0$，唯一有效实数解为： $t^2=\frac{1}{6}⟹t=\pm \frac{\sqrt{6}}{6}$ 将 $t=\pm \frac{\sqrt{6}}{6}$ 代入 ⑥ 式及 ① 式计算得： $m=\mp \frac{\sqrt{6}}{3},p=\frac{4}{3}$ 综上所述，存在符合条件的 $m,p$ 值，其值为 $m=\frac{\sqrt{6}}{3},p=\frac{4}{3}$ 或 $m=-\frac{\sqrt{6}}{3},p=\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线公共弦问题的代数本质（同解方程系数对齐）；抛物线与椭圆的焦点坐标模型构建。
• 核心方法：系数对应成比例法、消元降维法。
• 避坑指南：
• 联立抛物线与直线方程时，由于抛物线顶点的平移，展开二次项 $(y-m{)}^2$ 时极易遗漏交叉项或常数项。
• 在第（2）问中，由多根交点相同的同解性推导系数比例，比传统的通过韦达定理直接硬算更为简便高效，能大幅降低高次项错算率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何两曲线交线与几何特征融合的压轴大题，取材于经典的高等几何中关于二次曲线系（Conic Pencils）的相交与退化理论，利用同根方程的系数相似性简化高次消元过程。 结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与平移抛物线 $(y-m{)}^2=2px$，其公共弦通过椭圆焦点的几何完备条件可通过方程系的根空间比例唯一确定。这一系数对齐法是处理多曲线共弦、共点几何问题最强大的通用解析工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-22 解-椭圆与圆切线综合
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性