2006-湖南卷理-18 解-点到平面的距离

本题导读

本题主要考查空间向量在立体几何中的综合应用。核心利用正四棱锥的对称性证明线面垂直，通过构建空间直角坐标系，将异面直线夹角及点到平面的距离问题转化为向量的数量积与射影运算。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 如图，已知两个正四棱锥 $P-ABCD$ 与 $Q-ABCD$ 的高分别为 1 和 2， $AB=4$。 （1）证明： $PQ\perp$ 平面 $ABCD$； （2）求异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角； （3）求点 $P$ 到平面 $QAD$ 的距离。

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：利用正四棱锥的顶点在底面的投影均为底面正方形的中心，得出 $P,O,Q$ 三点共线，从而证明线面垂直。 第（2）问：以底面中心为原点，平行于边的直线为轴建立空间直角坐标系，写出相关点与向量的坐标，利用向量夹角公式求解。 第（3）问：求出平面 $QAD$ 的法向量 $\vec{n}$，计算向量 $\overrightarrow{QP}$ 在法向量上的投影绝对值，即可得到点到平面的距离。

✅【答案】

Success

（1）见解析；（2）$\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}$（即所成角为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}$）；（3）$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： $PQ\perp$ 平面 $ABCD$

设正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$。 因为 $P-ABCD$ 是正四棱锥，所以顶点 $P$ 在平面 $ABCD$ 上的射影是底面正方形的中心 $O$，即 $PO\perp$ 平面 $ABCD$。 同理，因为 $Q-ABCD$ 是正四棱锥，所以顶点 $Q$ 在平面 $ABCD$ 上的射影也是中心 $O$，即 $QO\perp$ 平面 $ABCD$。 由于 $PO$ 与 $QO$ 均垂直于平面 $ABCD$ 且交于点 $O$，故 $P,O,Q$ 三点共线，所以 $PQ\perp$ 平面 $ABCD$。

（2）求异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角

以 $O$ 为原点，过 $O$ 且平行于 $DA,AB$ 的直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴， $OP$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 因为 $AB=4$， $P-ABCD$ 与 $Q-ABCD$ 的高分别为 1 和 2，则各点坐标为： $O(0,0,0),A(2,-2,0),B(2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,1),Q(0,0,-2)$ 由此可得相关向量的坐标： $\overrightarrow{AQ}=(-2,2,-2),\overrightarrow{PB}=(2,2,-1)$ 计算其数量积与模长： $\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{PB}=(-2)\times 2+2\times 2+(-2)\times (-1)=-4+4+2=2$ $|\overrightarrow{AQ}|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{3},|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}=3$ 设异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AQ}|\cdot |\overrightarrow{PB}|}=\frac{2}{2\sqrt{3}\times 3}=\frac{\sqrt{3}}{9}$ 所以，异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{9}$。

（3）求点 $P$ 到平面 $QAD$ 的距离

由（2）可知： $\overrightarrow{AQ}=(-2,2,-2)$， $\overrightarrow{AD}=D-A=(-4,0,0)$。 设平面 $QAD$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AD}=0⟹-4x=0⟹x=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AQ}=0⟹-2x+2y-2z=0⟹y=z\end{array}$ 令 $y=1$，则 $z=1$，得 $\vec{n}=(0,1,1)$。 又 $\overrightarrow{QP}=(0,0,3)$，则点 $P$ 到平面 $QAD$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\times 0+0\times 1+3\times 1|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正四棱锥顶点投影的几何特征；异面直线夹角的坐标计算；点到平面距离的法向量射影公式。
• 核心方法：空间向量坐标法。
• 避坑指南：
• 建立坐标系时，顶点的 $z$ 轴坐标需注意正负方向（如 $P$ 在上方取正， $Q$ 在下方取负）。
• 异面直线所成角的范围是 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，通过向量求夹角余弦时务必加上绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的双多面体拼接构型问题，取材于人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》中利用法向量求空间距离与夹角的常规大题。 结论推广: 对于底面边长为 $a$，上下两个正四棱锥的高分别为 $h_1,h_2$ 的同底拼接体，顶点 $P$ 到侧面 $QAD$ 的距离通式可由等体积法或向量法推广为： $d=\frac{a(h_1+h_2)}{\sqrt{a^2+4h_2^2}}$。代入 $a=4,h_1=1,h_2=2$，可直接验算得 $d=\frac{4\times 3}{\sqrt{16+16}}=\frac{12}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-19 解-用空间向量求二面角
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角