2006-湖南卷理-14 填-奇函数与偶函数的定义与性质

本题导读

本题考查三角函数的和差公式及偶函数的代数定义。核心在于通过三角恒等变换化简函数解析式，并利用偶函数性质提取出系数 $a,b$ 之间满足的代数特征。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 若 $f(x)=a\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+b\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ ($ab\ne 0$) 是偶函数，则有序实数对 $(a,b)$ 可以是$\underline{}$．（写出你认为正确的一组数字即可）

🔍【思路分析】

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利用正弦的两角和与差公式，将 $f(x)$ 展开合并，化简为 $A\sin x+B\cos x$ 的标准形式。 根据偶函数的性质，其解析式中不应含有单调奇函数项（即 $\sin x$ 项的系数 $A$ 必须为 0），从而得到 $a,b$ 之间的等量关系。 给定符合该关系的一组非零特殊值作为答案。

✅【答案】

Success

$(1,-1)$ （答案不唯一）

✍【详细解析】

Abstract

利用三角函数的两角和与差公式展开函数 $f(x)$： $f(x)=a\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+b\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$ $=a\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)+b\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)$

将同类项进行合并提取： $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}(a-b)\cos x$

因为 $f(x)$ 是偶函数，根据偶函数的性质，对于任意 $x$ 恒有 $f(-x)=f(x)$。 由于 $\sin (-x)=-\sin x$， $\cos (-x)=\cos x$，代入可得： $\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)(-\sin x)+\frac{\sqrt{2}}{2}(a-b)\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}(a-b)\cos x$ $⟹\sqrt{2}(a+b)\sin x=0$

要使上式对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，必有： $a+b=0⟹b=-a$

由于题干限定 $ab\ne 0$，我们可以任意取一个非零实数 $a$。 例如，令 $a=1$，则 $b=-1$，满足 $ab=-1\ne 0$。 有序实数对 $(a,b)$ 可以是 $(1,-1)$。 (注：任意满足 $a+b=0$ 且 $a\ne 0$ 的有序实数对如 $(2,-2)$, $(-1,1)$ 等均正确)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两角和差公式 $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$；正弦型函数为偶函数的充要条件是正弦项系数为0。
• 核心方法：三角恒等变换法。
• 避坑指南：本题属于开放型填空题，写出的具体数字必须同时满足 $a+b=0$ 且 $ab\ne 0$（即 $a,b$ 不能为0），若误写成 $(0,0)$ 将不得分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角函数基础变形与函数奇偶性定义的填空题，直接取材于人教A版必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于函数特性判定的综合应用。 结论推广: 对于形如 $f(x)=a\cos (x+\varphi )+b\cos (x-\varphi )$ 或正弦复合式，其属于奇函数还是偶函数，完全依赖于将其展开为标准简谐振动形式 $A\sin x+B\cos x$ 后各分量的清零特征。若为偶函数，则 $\sin x$ 对应项系数恒为 0；若为奇函数，则 $\cos x$ 对应项系数恒为 0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-05 单-三角降幂判奇偶周期
• 2008-江西文-06 单-三角化简周期奇偶