2006-湖南卷理-13 填-三角形的面积计算

本题导读

本题主要考查导数的几何意义以及利用切线方程解决平面几何面积问题。核心在于先求出两条曲线的交点，再求出交点处的切线斜率与方程，最终转化为平面解析几何进行面积求解。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 曲线 $y=\frac{1}{x}$ 和 $y=x^2$ 在它们交点处的两条切线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

联立两曲线方程，求出它们的交点坐标 $P$． 对两函数分别求导，代入交点横坐标求出两条切线的斜率，进而写出两条切线方程． 求出两条切线与 $x$ 轴的交点坐标，从而确定三角形的底边长，以交点的纵坐标为高，计算出三角形的面积．

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

联立方程组： $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x}\\ y=x^2\end{array}⟹x^2=\frac{1}{x}⟹x^3=1⟹x=1$ 代入得 $y=1$，故两曲线的交点坐标为 $P(1,1)$．

• 对于曲线 $y=\frac{1}{x}$，求导得 $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$． 在交点 $x=1$ 处的切线斜率 $k_1=-1$，其切线方程 $l_1$ 为： $y-1=-1(x-1)⟹y=-x+2$

• 对于曲线 $y=x^2$，求导得 $y^{\prime }=2x$． 在交点 $x=1$ 处的切线斜率 $k_2=2$，其切线方程 $l_2$ 为： $y-1=2(x-1)⟹y=2x-1$

• 令 $l_1$ 中 $y=0$，得 $-x+2=0⟹x=2$，与 $x$ 轴交点为 $(2,0)$；

• 令 $l_2$ 中 $y=0$，得 $2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$，与 $x$ 轴交点为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$．

该三角形以 $x$ 轴上的两交点连线为底边，底边长为： $b=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 三角形的顶点为 $P(1,1)$，其高为该点到 $x$ 轴的距离，即纵坐标 $h=1$． 故三角形的面积为： $S=\frac{1}{2}\times b\times h=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 1=\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 即为曲线在该点处切线的斜率 $k$；利用点斜式建立直线方程。
• 核心方法：导数切线几何法。
• 避坑指南：求三角形底边长时，务必用右侧交点的横坐标减去左侧交点的横坐标（大减小），确保边长为正值；注意面积公式中的 $\frac{1}{2}$ 不要漏乘．

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的微积分与初等解析几何融合的题型，直接取材于人教A版选择性必修第二册第五章《一元函数导数及其应用》中关于导数几何意义的典型课后综合题。 结论推广: 对于幂函数 $y=x^m$ 与 $y=x^n$ 在第一象限交点处的两条切线与 $x$ 轴围成的面积，可以完全参数化表达。其交点恒为 $(1,1)$，两条切线斜率分别为 $m$ 和 $n$。其与 $x$ 轴所围成的三角形面积通式为 $S=\frac{1}{2}\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|$。本题代入 $m=-1,n=2$，直接算得 $S=\frac{1}{2}\left|-1-\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-09 单-线性规划区域面积
• 2008-浙江文-10 单-线性规划面积