2006-湖南卷理-11 填-二项展开式的通项公式

本题导读

本题主要考查二项式定理展开式中特定项系数的求解，核心在于熟练运用二项展开式的通项公式建立关于未知参数的代数方程。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 若 $(ax-1{)}^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 $-80$，则实数 $a$ 的值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$． 令 $x$ 的指数等于 3，确定对应的 $r$ 值，进而写出 $x^3$ 的系数代数式． 结合已知系数 $-80$ 建立方程，解出实数 $a$ 的值．

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理， $(ax-1{)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)(ax{)}^{5-r}(-1{)}^r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)a^{5-r}(-1{)}^r{x}^{5-r}$

令 $x$ 的指数等于 3，得： $5-r=3⟹r=2$

将 $r=2$ 代入系数部分，得 $x^3$ 的系数为： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)a^{5-2}(-1{)}^2=10a^3$

已知该系数为 $-80$，故： $10a^3=-80⟹a^3=-8⟹a=-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)A^{n-r}{B}^r$ 的灵活运用．
• 核心方法：通项定次方程法．
• 避坑指南：注意不要漏掉项中的负号， $(-1{)}^r$ 在 $r=2$ 时为正，若粗心漏掉符号极易在负数开立方时产生混乱．

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查二项式定理基本概念的常规基础题，直接取材于人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》中二项式定理的课后基础练习． 结论推广: 对于形下两项式 $(ax+b{)}^n$ 的展开式中 $x^m$ 项的系数，其通用计算通式为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-m}\right)a^m{b}^{n-m}$．通过将特定系数对齐，即可实现对任意未知元的单项快速求解．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-12 填-二项式特定项系数
• 2015-新课标Ⅱ理-15 填-二项式系数