2006-湖南卷理-08 单-集合的包含关系与真子集

本题导读

本题考查利用导数确定函数单调性，并结合集合的真子集包含关系求解参数的取值范围。核心在于对参数进行分类讨论以准确界定两个集合的范围。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{x-a}{x-1}$，集合 $M=\{x\mid f(x)<0\}$，$P=\{x\mid f^{\prime }(x)>0\}$，若 $MP$，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,1)$　　　　B. $(0,1)$　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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解分式不等式 $\frac{x-a}{x-1}<0$，根据 $a$ 与 $1$ 的大小关系分类讨论确定集合 $M$。 求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，由 $f^{\prime }(x)>0$ 确定集合 $P$。 根据 $MP$（ $M$ 是 $P$ 的真子集）建立关于 $a$ 的不等式，从而确定 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $f(x)=\frac{x-a}{x-1}$ ($x\ne 1$) 进行求导： $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-1)-(x-a)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{a-1}{(x-1{)}^2}$

接下来对参数 $a$ 的取值进行分类讨论：

1. 当 $a=1$ 时： $f(x)=1$ ($x\ne 1$)，此时 $f(x)<0$ 无解，故 $M=\varnothing$。 同时 $f^{\prime }(x)=0$， $f^{\prime }(x)>0$ 无解，故 $P=\varnothing$。 此时 $M=P=\varnothing$，不满足真子集条件 $MP$，故 $a=1$ 舍去。

2. 当 $a<1$ 时： 由 $f^{\prime }(x)=\frac{a-1}{(x-1{)}^2}<0$ 可知，集合 $P=\varnothing$。 而解不等式 $\frac{x-a}{x-1}<0$ 可得 $M=(a,1)\ne \varnothing$。 非空集合 $M$ 不可能包含于空集 $P$ 中，不符合题意。

3. 当 $a>1$ 时： 由 $f^{\prime }(x)=\frac{a-1}{(x-1{)}^2}>0$ 恒成立（ $x\ne 1$），可得： $P=\{x\mid x\ne 1\}=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$ 解分式不等式 $\frac{x-a}{x-1}<0$ 可得： $M=(1,a)$ 显然，区间 $(1,a)\subset (1,+\infty )$，满足 $MP$。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：商的求导法则；分式不等式的区间解法；真子集的几何定义。
• 核心方法：参数分类讨论法。
• 避坑指南：极易由于对真子集号 “$$” 的含义理解不严谨而误选 (D) 项。必须明确，当 $a=1$ 时两集合均为外延空集，空集之间是相等关系而非真包含关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的集函数、导数、不等式与集合性质于一体的综合选择题，直接取材于人教A版选择性必修第二册第五章《一元函数导数及其应用》中关于导数正负与单调性区间对应的巩固习题。 结论推广: 对于分式函数 $f(x)=\frac{x-a}{x-b}$，其导数符号完全由 $a-b$ 的正负决定。若要求其负值域区间 $M$ 真包含于增区间 $P$，代数本质即要求该函数在定义域内严格单调递增，从而直接推导其充要条件为 $a>b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算
• 2013-北京卷理-01 单-集合交集