2006-湖南卷理-04 单-绝对值函数的单调性

本题导读

本题主要考查绝对值函数的单调性规律以及充分必要条件的逻辑判定。核心在于先求解出函数在指定区间单调递增时参数满足的充要条件，再将其与已知条件进行包含关系比对。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） “$a=1$”是“函数 $f(x)=|x-a|$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上为增函数”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

分析绝对值函数 $f(x)=|x-a|$ 的单调性，其图象关于直线 $x=a$ 对称，单调递增区间为 $[a,+\infty )$。 若函数在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，则要求 $[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )$，从而推导出参数 $a$ 的充要条件。 对比条件 “$a=1$” 与推导出的范围，判断两者的逻辑包含关系，确定最终选项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

对于绝对值函数 $f(x)=|x-a|$，由其对称性与图象特征可知，该函数在 $(-\infty ,a]$ 上单调递减，在 $[a,+\infty )$ 上单调递增。

要使函数 $f(x)=|x-a|$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上为增函数，则区间 $[1,+\infty )$ 必须是其递增区间 $[a,+\infty )$ 的子集，即： $[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )⟹a\le 1$

所以，“函数 $f(x)=|x-a|$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上为增函数”的充要条件是 $a\le 1$。

现在分析条件 “$a=1$” 与 “$a\le 1$” 的逻辑关系：

• 充分性：若 $a=1$，显然能推出 $a\le 1$ 成立，故充分性满足；
• 必要性：若 $a\le 1$，不能推出 $a=1$（例如 $a=0$ 时条件也成立），故必要性不满足。

综上所述，“$a=1$”是“函数 $f(x)=|x-a|$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上为增函数”的充分不必要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值函数 $y=|x-a|$ 的单调区间界限为 $x=a$；常用逻辑用语中充分条件与必要条件的判定。
• 核心方法：图象区间包含法。
• 避坑指南：极易由于对绝对值函数图象临界点认识模糊，误认为区间起点 1 必须等于对称轴 $a$（即 $a=1$），从而错选 (C) 项。需明确，只要整个指定区间完全落在递增轨道内即可，对称轴在其左侧（ $a\le 1$）完全符合题意。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查函数性质与逻辑用语交叉融合的经典题型，取材于人教A版必修第一册第一章《常用逻辑用语》与第三章《函数的单调性》的基础课后综合题。 结论推广: 设命题条件为 $p$，结论所对应的参数范围集合为 $M$。若 $p$ 对应的参数集合为 $P$，则：当 $PM$ 时， $p$ 是充分不必要条件；当 $MP$ 时， $p$ 是必要不充分条件；当 $P=M$ 时， $p$ 是充要条件。本题中 $P=\{1\}$， $M=\{a\mid a\le 1\}$，显然 $PM$，故为充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-03 单-奇偶性与单调性判定
• 2007-辽宁文-09 单-对数复合函数单调区间