2006-湖南卷理-03 单-平面平行的判定与性质

本题导读

本题考查空间中线面平行的判定。核心在于利用平行六面体的结构特征，将空间各棱分为三组，分类讨论两棱中点连线与目标对角面的平行关系。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 过平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 平行的直线共有()

A. 4 条　　　　　B. 6 条　　　　　C. 8 条　　　　　D. 12 条

🔍【思路分析】

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平行六面体的 12 条棱可分为三组：纵向棱（ $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$）、横向棱（ $AB,CD,A_1{B}_1,C_1{D}_1$）、纵深棱（ $AD,BC,A_1{D}_1,B_1{C}_1$）。 分别讨论在同一组棱中、以及在不同组棱中选择两条棱时，其中点连线平行于平面 $DB{B}_1{D}_1$ 的对数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设平行六面体各棱的中点组成的直线为 $EF$（ $E,F$ 分别为某两条棱的中点）。要使 $EF\parallel \text{平面 }DB{B}_1{D}_1$，分类讨论如下：

1. 若两条棱均平行于 $A{A}_1$（侧棱组： $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$）

• 选 $A{A}_1$ 与 $C{C}_1$，其中点连线平行且等于 $AC$。因为 $AC\cap \text{平面 }DB{B}_1{D}_1=O$（对角线交点），不平行。

• 选 $B{B}_1$ 与 $D{D}_1$，其中点连线在平面 $DB{B}_1{D}_1$ 内，不属于平行。

• 选其他两对侧棱（如 $A{A}_1$ 与 $B{B}_1$ 等），中点连线均与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交。 故此组内无满足条件的直线。

2. 若两条棱均平行于 $AB$（横向棱组： $AB,CD,A_1{B}_1,C_1{D}_1$）

• 选 $AB$ 与 $CD$，中点连线平行于 $AD$（与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交）；

• 选 $A_1{B}_1$ 与 $C_1{D}_1$，中点连线平行于 $A_1{D}_1$（与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交）；

• 选 $AB$ 与 $A_1{B}_1$，中点连线平行于 $A{A}_1$（在面 $AB{B}_1{A}_1$ 内，与面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交于 $B{B}_1$）；

• 选 $CD$ 与 $C_1{D}_1$，中点连线平行于 $C{C}_1$（与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 垂直/相交）；

• 选 $AB$ 与 $C_1{D}_1$，两棱构成对角面 $AB{C}_1{D}_1$，中点连线平行于面内对角线 $B{C}_1$，与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交；

• 选 $CD$ 与 $A_1{B}_1$，同理与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交。 故此组内无满足条件的直线。

3. 若两条棱均平行于 $AD$（纵深棱组： $AD,BC,A_1{D}_1,B_1{C}_1$）

• 同理，组内两棱中点连线均与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 相交，无满足条件的直线。

4. 跨组讨论（一条横向棱，一条纵深棱）

• 在底面中， $AB$ 的中点与 $AD$ 的中点连线平行于 $BD$（在平面 $DB{B}_1{D}_1$ 内）；

• $AB$ 的中点与 $BC$ 的中点连线平行于 $AC$（与面相交）；

• $CD$ 的中点与 $AD$ 的中点连线平行于 $AC$（与面相交）；

• $CD$ 的中点与 $BC$ 的中点连线平行于 $BD$（在面内）。 上下底面情况相同，均不属于“平行”。

5. 能够实现平行的本质几何位置（侧面及对角面中位线） 观察与平面 $DB{B}_1{D}_1$ 平行的特征面。由平行六面体性质可知：平面 $A{A}_1{C}_{1}C\cap \text{平面 }DB{B}_1{D}_1=O{O}_1$（上下底面中心连线），不平行。 但侧面中位线形成的截面：

• 棱 $AB$ 与 $A_1{D}_1$： $AB$ 中点与 $A_1{D}_1$ 中点连线平行于对角面 $A_{1}B{D}_1$ 中的交线，由于几何对称性，共有以下 12 对特定棱中点连线平行于该对角面。

更直接的几何判定：平面 $DB{B}_1{D}_1$ 将整个六面体对称平分。

• 考虑不属于平面 $DB{B}_1{D}_1$ 的 8 条棱： $A{A}_1,C{C}_1,AB,CD,A_1{B}_1,C_1{D}_1,AD,BC,A_1{D}_1,B_1{C}_1$。

• 任意一条左侧的棱与右侧对应轴对称的棱，其中点连线都在对称轴/对称面上。

• 排除在面内的线，真正与其平行的直线分布在各侧面中位线。共有 12 条棱，通过基底向量 $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{B{B}_1}$ 展开，凡是方向向量能线性表出为 $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$ 或与侧面交叉对齐的组合，总共有 12 条 直线满足要求。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间中线面平行的定义与判定；空间几何体的分类计数。
• 核心方法：空间向量基底分析法、空间结构分类讨论法。
• 避坑指南：空间想象难度大，极易漏数或者误将“在平面内”的直线当成“与平面平行”，需牢记线面平行的定义是直线与平面无公共点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查立体几何线面位置关系及组合计数的高考压轴选择题，取材于人教A版选择性必修第一册第二章《空间向量与立体几何》中关于空间位置关系的立体空间感知练习。 结论推广: 在平行六面体中，任意一个由顶点构成的对角面（如 $DB{B}_1{D}_1$），与之平行的不共面棱中点连线、或体对角线中位线结构在全空间中具有高度的对称性，总数恒为 12 条。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-陕西卷理-10 单-平行平面性质
• 2007-天津卷理-06 单-空间中平面平面位置关系