2006-湖南卷理-01 单-无理函数的性质

本题导读

本题主要考查函数的定义域判定，核心在于将无理根式与对数式同时有意义的条件转化为初等不等式组求解。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 函数 $y=\sqrt{{\log }_{2}x-2}$ 的定义域是()

A. $(3,+\infty )$　　　　B. $[3,+\infty )$　　　　C. $(4,+\infty )$　　　　D. $[4,+\infty )$

🔍【思路分析】

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根据二次根式中被开方数非负，列出不等式 ${\log }_{2}x-2\ge 0$。 根据对数函数的真数大于零，列出隐性制约条件 $x>0$。 求解复合不等式组，确定自变量 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，自变量 $x$ 必须满足： $\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x-2\ge 0\text{(1)}\\ x>0\text{(2)}\end{array}$

解不等式 ① 得： ${\log }_{2}x\ge 2⟹x\ge 2^2⟹x\ge 4$

将 $x\ge 4$ 与 ② $x>0$ 取交集，得： $x\ge 4$

用区间表示为 $[4,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数定义域的常规求法（根式非负、真数大于 0）；对数不等式的同底转化。
• 核心方法：不等式组求交集法。
• 避坑指南：解题时应牢记对数与指数的互化法则：当底数大于 1 时，对数函数单调递增，不等号方向保持不变，即由 ${\log }_{2}x\ge 2$ 得到 $x\ge 2^2=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查函数概念中定义域求解的基本题，取材于人教A版必修第一册第四章《对数函数》的课后配套练习。 结论推广: 对于形如 $y=\sqrt{{\log }_{a}x-b}(a>1)$ 的无理对数复合函数，其定义域的通用求解方程组为 ${\log }_{a}x\ge b⟹x\ge a^b$，对应定义域区间结构恒为 $[a^b,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-03 单-对数型函数的定义域
• 2007-陕西文-02 单-对数函数定义域