2006-湖南文-13 填-线性规划距离最值

本题导读

本题考查线性规划，以及距离最值。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 已知 $\{\begin{array}{l}x⩾1,\\ x-y+1⩽0,\\ 2x-y-2⩽0,\end{array}$ 则 $x^2+y^2$ 的最小值是　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 约束即 $x⩾1$、$y⩾x+1$、$y⩾2x-2$。
2. 画可行域：边界 $x=1$ 与 $y=x+1$ 交于 $(1,2)$，$y=x+1$ 与 $y=2x-2$ 交于 $(3,4)$；可行域在两直线上方、$x=1$ 右侧，向右上无限延伸。
3. $x^2+y^2$ 是可行域内的点到原点距离的平方。原点到直线 $y=x+1$ 的垂足 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 不满足 $x⩾1$，故最近点在边界上：沿 $x=1$（$y⩾2$）距离平方 $1+y^2$ 在 $y=2$ 最小；沿 $y=x+1$（$x⩾1$）距离平方在 $x=1$ 最小。
4. 故最近点为顶点 $(1,2)$，最小值 $1^2+2^2=5$。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件即 $\{\begin{array}{l}x⩾1,\\ y⩾x+1,\\ y⩾2x-2.\end{array}$ 画可行域：边界线 $x=1$ 与 $y=x+1$ 交于 $(1,2)$；$y=x+1$ 与 $y=2x-2$ 交于 $(3,4)$；可行域在两直线上方、$x=1$ 右侧． $x^2+y^2$ 表示可行域内的点到原点距离的平方． 原点到直线 $y=x+1$（即 $x-y+1=0$）的垂足为 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，不满足 $x⩾1$，故最近点在边界顶点 $(1,2)$ 处取得： $x^2+y^2⩾1^2+2^2=5.$ 最小值为 $5$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划距离最值

核心方法：可行域顶点 $(1,2)$，$x^2+y^2$ 即到原点距离平方，最小 $5$

避坑指南：$x^2+y^2$ 的几何意义是到原点距离的平方；在顶点或边界取最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线性规划与距离最值，不等式综合

结论推广: $x^2+y^2$ 到原点距离平方，在顶点取最值

方法推广: 目标含平方时先看几何意义（距离），再找顶点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2008-新课标Ⅰ文-10 单-线性规划距离范围
• 2008-大纲Ⅱ文-06 单-线性规划最小值
• 2008-山东文-16 填-线性规划最值