2006-湖南文-10 单-向量线性表示区域

本题导读

本题考查向量，以及线性表示。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 如图，$OM\parallel AB$，点 $P$ 在由射线 $OM$、线段 $OB$ 及 $AB$ 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且 $OP=xOA+yOB$，则实数对 $(x,y)$ 可以是()

A. $\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)$　　　B. $\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　C. $\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)$　　　D. $\left(-\frac{1}{5},\frac{7}{5}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $OA$、$OB$ 为基。$OM\parallel AB$：$M$ 方向 $=-OA+OB$，故射线 $OM$ 上点满足 $x+y=0$（$x<0<y$）。
2. 直线 $AB$ 上的点满足 $x+y=1$（$A(1,0)$，$B(0,1)$ 在基坐标下）。
3. 线段 $OB$：$x=0$，$0⩽y⩽1$。
4. 阴影区域（不含边界）夹在射线 $OM$ 与直线 $AB$ 之间、位于 $OB$ 左侧：$x<0$ 且 $0<x+y<1$。
5. 验证：(A) $x>0$ 舍；(B) $x+y=0$ 在边界舍；(C) $x=-\frac{1}{4}<0$，$x+y=\frac{1}{2}\in (0,1)$ ✓；(D) $x+y=\frac{6}{5}>1$ 舍。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

以 $OA$、$OB$ 为基（即 $A$ 的基坐标为 $(1,0)$，$B$ 为 $(0,1)$），$P$ 的基坐标为 $(x,y)$． $OM\parallel AB$，射线 $OM$ 方向与 $AB$ 方向一致，其上点满足 $x+y=0$（$M=-OA+OB$ 型）； 直线 $AB$ 上的点满足 $x+y=1$；线段 $OB$ 上的点满足 $x=0$（$0⩽y⩽1$）． 阴影区域由射线 $OM$、线段 $OB$、$AB$ 延长线围成（不含边界），故区域内点满足 $x<0,0<x+y<1.$ 逐一验证： (A) $x=\frac{1}{4}>0$，在 $OB$ 右侧，舍； (B) $x+y=-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=0$，落在射线 $OM$（边界）上，舍； (C) $x=-\frac{1}{4}<0$ 且 $x+y=\frac{1}{2}\in (0,1)$，在阴影区域内，符合； (D) $x+y=-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}=\frac{6}{5}>1$，越过直线 $AB$，舍． 选 C． ★【裁定】答案册印 D，但 $(-\frac{1}{5},\frac{7}{5})$ 满足 $x+y=\frac{6}{5}>1$，已越过 $AB$ 延长线不在阴影带内；多源（book118、docin 转载官方参考答案）均记为 C，故以 C 为准。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量线性表示区域

核心方法：阴影带夹在射线 $OM$（$x+y=0$）与直线 $AB$（$x+y=1$）之间、$OB$ 左侧（$x<0$），验证得 $(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$

避坑指南：$OP=xOA+yOB$ 中 $x+y$ 是沿 $OM$ 方向的”层高”；$x<0$ 对应 $OB$ 左侧

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量线性表示与平面区域，等和线雏形

结论推广: $OP=xOA+yOB$：$x+y=0$ 是过 $O$ 平行 $AB$ 的线，$x+y=1$ 是 $AB$

方法推广: 基底表示下 $x+y$ 的等值线平行于 $AB$，区域问题化为不等式组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.05 等和线定理
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-01 单-向量线性表示
• 2013-北京卷文-14 填-向量线性表示面积
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-湖南卷文-15 填-向量基底分解