2006-湖南文-06 单-全排列不相邻插空

本题导读

本题考查排列组合，以及不相邻问题。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 在数字 $1$，$2$，$3$ 与符号 $+$，$-$ 五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()

A. $6$　　　　　　　B. $12$　　　　　　　C. $18$　　　　　　　D. $24$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不相邻问题用插空法：先排不受限制的元素（符号 $+$、$-$），共 $2!=2$ 种。
2. 两个符号形成 3 个空位（含两端）。
3. 3 个数字全排列插入 3 个空位：$3!=6$ 种。
4. 共 $2\times 6=12$ 种。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

任意两个数字都不相邻，用插空法． 先排两个符号 $+$、$-$，有 $2!=2$ 种排法；两符号之间及两端共形成 $3$ 个空位． 把 $3$ 个数字全排列后插入这 $3$ 个空位（每空一个），有 $3!=6$ 种． 由分步乘法计数原理，共有 $2\times 6=12$ 个，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全排列不相邻插空

核心方法：数字 1,2,3 互不相邻：先排符号 $+$、$-$（$2!$），3 个数字插入 3 个空中（$3!$），共 $2!\cdot 3!=12$

避坑指南：“数字互不相邻”用插空法；两符号全排 $2$ 种，三个空位全排 $6$ 种

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 全排列不相邻，插空法模型

结论推广: 先排不受限元素，空位插入受限元素

方法推广: 不相邻问题插空：空位数 ≥ 受限元素数才可行

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2008-浙江文-17 填-奇偶相邻排列
• 2009-北京文-05 单-四位偶数排列
• 2008-天津文-16 填-卡片排列计数