2006-湖南文-05 单-充分必要条件与绝对值函数

本题导读

本题考查充分必要条件，以及绝对值函数。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） "$a=1$"是”函数 $f(x)=|x-a|$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上为增函数”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=|x-a|$ 的增区间是 $[a,+\infty )$。
2. ”$f$ 在 $[1,+\infty )$ 增” ⟺ $[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )$ ⟺ $a⩽1$。
3. $a=1$ 是 $a⩽1$ 的充分不必要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=|x-a|$ 的图象是以 $(a,0)$ 为折点的 V 形，增区间为 $[a,+\infty )$． ”$f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上为增函数”等价于 $[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )$，即 $a⩽1$． 由 $a=1$ 可推出 $a⩽1$，但 $a⩽1$（如 $a=0$）推不出 $a=1$， 故"$a=1$"是”$f$ 在 $[1,+\infty )$ 上为增函数”的充分不必要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件与绝对值函数

核心方法：$a=1$ 时 $f(x)=|x-1|$ 在 $[1,+\infty )$ 增，充分；$f$ 在 $[1,+\infty )$ 增只需 $a⩽1$，不必要，选 A

避坑指南：$|x-a|$ 的增区间是 $[a,+\infty )$；$[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )⟺a⩽1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 充分必要条件与绝对值函数单调性

结论推广: $|x-a|$ 增区间 $[a,+\infty )$；$[1,+\infty )\subseteq [a,+\infty )⟺a⩽1$

方法推广: 充分性代入验证，必要性求参数范围取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-02 单-充分不必要条件
• 2011-湖南卷文-03 单-充分不必要条件
• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2011-大纲卷文-05 单-充分不必要条件