2006-湖北卷理-19 解-标准正态分布表的使用

本题导读

本题主要考查正态分布的基础应用。核心在于通过公式将一般正态分布变量转化为标准正态分布变量，结合给定的正态分布表查询临界概率，进而解决实际人数比例与分数线反求问题。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 $N(70,100)$。已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。 （1）试问此次参赛学生总数约为多少人？ （2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：设成绩为随机变量 $X\sim N(70,10^2)$。利用公式 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ 将其标准化，求出 $P(X\ge 90)$ 的概率值，再利用 $\text{总人数}=\frac{\text{特定人数}}{\text{对应概率}}$ 估算总人数。 第（2）问：计算前 50 名学生占总人数的比例，从而确定分数线 $x_1$ 以上的概率 $P(X\ge x_1)$，转化为 $P(X<x_1)=\Phi (z_0)$ 后在表中逆向查出标准正态值 $z_0$，最后反推得到原始分数 $x_1$。

✅【答案】

Success

参赛学生总数约为526人，设奖分数线约为83.1分.

✍【详细解析】

Abstract

设参赛学生的竞赛成绩为随机变量 $X$，由题意知 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu =70$ ， ${\sigma }^2=100⟹\sigma =10$。

（1）求参赛学生总数

成绩在 90 分以上（含 90 分）的概率为 $P(X\ge 90)$。 进行标准正态化变换： $P(X\ge 90)=P\left(\frac{X-70}{10}\ge \frac{90-70}{10}\right)=P(Z\ge 2)$ 根据对称性与标准正态分布表： $P(Z\ge 2)=1-P(Z<2)=1-\Phi (2.0)$ 查阅附表，当 $x_0=2.0$ 且第二位小数为 $0$ 时， $\Phi (2.0)=0.9772$。 $P(X\ge 90)=1-0.9772=0.0228$

设参赛学生总数为 $M$ 人，则： $M\times 0.0228=12⟹M=\frac{12}{0.0228}\approx 526.3$

故此次参赛学生总数约为 $526$ 人。

（2）求设奖的分数线

设获奖的分数线为 $x_1$ 分，则成绩在 $x_1$ 分以上的学生占比应为： $P(X\ge x_1)=\frac{50}{526.3}\approx 0.0950$ 由此可得，分数线以下的人数占比（累积概率）为： $P(X<x_1)=1-P(X\ge x_1)=1-0.0950=0.9050$

对 $x_1$ 进行标准化变形，得： $P\left(Z<\frac{x_1-70}{10}\right)=\Phi \left(\frac{x_1-70}{10}\right)=0.9050$

查阅标准正态分布表，寻找最接近 $0.9050$ 的概率值：

• 当 $x_0=1.31$ 时， $\Phi (1.31)=0.9049$
• 当 $x_0=1.32$ 时， $\Phi (1.32)=0.9066$

显见 $0.9049$ 最接近 $0.9050$，故取： $\frac{x_1-70}{10}\approx 1.31$ 解得： $x_1\approx 70+13.1=83.1$

故设奖的分数线约为 $83.1$ 分（或约 $83$ 分）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正态分布的标准正态化公式 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$；概率、总数与频数之间的比例置换。
• 核心方法：正向转化与反向查表法。
• 避坑指南：
• 极易混淆方差与标准差，题中给出的形如 $N(70,100)$ 中第二个参数是 ${\sigma }^2=100$，标准化分母必须使用标准差 $\sigma =10$，切勿除以 100。
• 查表求第（2）问的分数线时，需寻找与目标概率 $0.9050$ 差值绝对值最小的项，不可盲目随意四舍五入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查概率与统计中正态分布应用的典型解答题，取材于人教A版选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析与随机变量》中关于正态分布密度曲线与实际统计推断的基础习题。 结论推广: 一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的百分位数反求规律：若已知排名前 $k$ 的累积概率为 $p$，只需通过 $1-p$ 查标准正态表得到分位数 $z_p$，再利用公式 $x=\mu +z_p\cdot \sigma$ 即可快速完成对任意分数线、合格线的定量推导。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-20 解-正态分布的性质与概率计算
• 2017-全国卷I理-19 解-正态分布