2006-湖北卷理-16 解-三角函数的周期、最值与对称性

本题导读

本题是一道将平面向量的坐标运算、三角恒等变换与函数图象变换熔于一炉的综合解答题。核心考查利用向量数量积展开三角代数式，通过降幂公式与辅助角公式将其化简为标准正弦型函数，并利用奇函数的中心对称特征确定平移向量的极值。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})$，其中向量 $\vec{a}=(\sin x,-\cos x)$， $\vec{b}=(\sin x,-3\cos x)$， $\vec{c}=(-\cos x,\sin x)$， $x\in \mathbf{R}$。 （1）求函数 $f(x)$ 的最大值和最小正周期； （2）将函数 $f(x)$ 的图象按向量 $\vec{d}$ 平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 $\vec{d}$。

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：首先计算向量和 $\vec{b}+\vec{c}$ 的坐标，再由数量积公式 $\vec{a}\cdot \vec{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 将 $f(x)$ 展开。利用二倍角降幂公式及辅助角公式将解析式化为 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的标准正弦型，进而直接读取最大值与周期。 第（2）问：设平移向量 $\vec{d}=(h,k)$，根据平移法则（左加右减，上加下减）写出新函数 $g(x)=f(x-h)+k$ 的解析式。由于新图象关于原点对称，说明 $g(x)$ 是一个标准的奇函数，利用奇函数性质令常数项为 0 且正弦项的相位处于对称中心位置，列出关于 $h,k$ 的方程，最后求出使模长 $|\vec{d}|=\sqrt{h^2+k^2}$ 最小的向量。

✅【答案】

Success

（1）$f(x)$ 的最大值为 $2+\sqrt{2}$，最小正周期为 $\pi$；

（2）$\vec{d}=\left(-\frac{\pi }{8},-2\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求函数 $f(x)$ 的最大值和最小正周期

由已知向量坐标，先计算 $\vec{b}+\vec{c}$： $\vec{b}+\vec{c}=(\sin x-\cos x,\sin x-3\cos x)$

代入数量积公式展开函数 $f(x)$： $f(x)=\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\sin x(\sin x-\cos x)+(-\cos x)(\sin x-3\cos x)$ $={\sin }^{2}x-\sin x\cos x-\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$ $={\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x$

利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 与二倍角公式进行降幂化简： $f(x)=1+2{\cos }^{2}x-\sin 2x$ $=1+(1+\cos 2x)-\sin 2x$ $=2-\sin 2x+\cos 2x$

引入辅助角公式，将代数式合一： $f(x)=2-\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)=2-\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

由正弦型函数的性质得：

• 当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ 时， $f(x)$ 取得最大值， $f(x{)}_{\text{max}}=2-\sqrt{2}(-1)=2+\sqrt{2}$；
• 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（2）求长度最小的平移向量 $\vec{d}$

设平移向量为 $\vec{d}=(h,k)$。将函数 $f(x)$ 的图象按向量 $\vec{d}$ 平移后，得到的新函数解析式为： $g(x)=f(x-h)+k=2-\sqrt{2}\sin \left[2(x-h)-\frac{\pi }{4}\right]+k$ $g(x)=(2+k)-\sqrt{2}\sin \left(2x-2h-\frac{\pi }{4}\right)$

因为平移后的函数图象关于坐标原点成中心对称，说明 $g(x)$ 是奇函数。根据奇函数的图象特征，其常数项必为 0，且正弦函数的初始相位必为 $\pi$ 的整数倍：

1. 由常数项为 0，得： $2+k=0⟹k=-2$
2. 由正弦项关于原点对称，得： $-2h-\frac{\pi }{4}=n\pi ⟹2h=-n\pi -\frac{\pi }{4}⟹h=-\frac{n\pi }{2}-\frac{\pi }{8}(n\in \mathbf{Z})$

平移向量 $\vec{d}$ 的长度（模长）为： $|\vec{d}|=\sqrt{h^2+k^2}=\sqrt{h^2+(-2{)}^2}=\sqrt{h^2+4}$

要使 $|\vec{d}|$ 最小，只需 $h^2$ 最小，即求 $|h|$ 的最小值。 观察 $h=-\frac{n\pi }{2}-\frac{\pi }{8}(n\in \mathbf{Z})$：

• 当 $n=0$ 时， $h=-\frac{\pi }{8}$，此时 $|h|=\frac{\pi }{8}$；
• 当 $n=-1$ 时， $h=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}$，此时 $|h|=\frac{3\pi }{8}$。

显见，当 $n=0$ 时， $|h|$ 取得最小值 $\frac{\pi }{8}$。 此时对应平移向量的坐标为： $\vec{d}=\left(-\frac{\pi }{8},-2\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量数量积的坐标代数展开；利用辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )$ 进行三角式合并；中心对称型奇函数的边界方程。
• 核心方法：向量代数化法与向量模长极值分析。
• 避坑指南：
• 在第（2）问中，对“关于原点成中心对称”的映射翻译，很多同学容易漏掉垂直方向的位移平衡条件 $2+k=0$，导致只计算了水平位移。
• 确定 $h$ 的极值时，注意 $n$ 的取值需在全体整数集合 $\mathbf{Z}$ 内进行比对，不要漏掉负整数或 0 的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题是典型的一阶向量工具性向三角综合大题进行横向渗透的题型，直接取材于人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中向量数量积与三角恒等变换的复习拓展综合题。 结论推广：对于任意正弦型函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+B$，若经过向量 $\vec{d}=(h,k)$ 平移后关于原点成中心对称，则其平移通用公式为 $k=-B$ 且 $h=\frac{n\pi -\phi }{\omega }(n\in \mathbf{Z})$。该结论可作为求解此类选择、填空或大题平移量判定时的通用速解工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-10 单-二倍角降幂与单调区间
• 2007-大纲卷I理-12 单-三角函数单调增区间