2006-湖北卷理-13 填-直线与圆的位置关系

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，核心是通过配方法确定圆心与半径，并利用圆心到直线的距离等于半径这一几何特征建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 已知直线 $5x+12y+a=0$ 与圆 $x^2-2x+y^2=0$ 相切，则 $a$ 的值为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

通过配方法将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径。 根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线距离公式列出关于 $a$ 的绝对值方程并求解。

✅【答案】

Success

$8$ 或 $-18$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的一般方程 $x^2-2x+y^2=0$ 配方得： $(x-1{)}^2+y^2=1$ 由此可知，圆心坐标为 $C(1,0)$，半径为 $R=1$．

因为直线 $5x+12y+a=0$ 与该圆相切，所以圆心 $C(1,0)$ 到直线的距离 $d$ 等于半径 $R$． 由点到直线的距离公式得： $d=\frac{|5\times 1+12\times 0+a|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{|5+a|}{13}$

令 $d=R=1$，得： $\frac{|5+a|}{13}=1⟹|5+a|=13$

解此绝对值方程：

• 当 $5+a=13$ 时，解得 $a=8$；
• 当 $5+a=-13$ 时，解得 $a=-18$．

所以， $a$ 的值为 $8$ 或 $-18$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的标准方程变形，点到直线的距离公式，直线与圆相切的充要条件（ $d=R$）。
• 核心方法：几何距离法。
• 避坑指南：解绝对值方程时极易漏掉负数分支，导致漏解 $-18$；最终答案需写出完整的两解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于解析几何中考查直线与圆位置关系的常规基础题，直接取材于人教A版选择性必修第一册第二章《圆的方程》的课后基础练习题。 结论推广: 直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 相切的代数充要条件为 $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$。由于绝对值的代数特征，当未知参数位于常数项 $C$ 时，通常在全平面上对称存在两条满足相切条件的平行直线，解通常成对出现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-11 填-圆与直线相切求方程
• 2008-四川文-14 填-圆上点到直线距离