2006-湖北卷理-12 填-互斥事件的概率加法公式

本题导读

本题主要考查独立重复试验（二项分布）模型及其概率计算。核心在于将实际生活中的接种反应人数转化为二项分布随机变量，并熟练运用概率加法公式求解“至少”型问题。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80，现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为$\underline{}$．（精确到 0.01）

🔍【思路分析】

破题导航

每个人出现发热反应与否互相独立，5人接种对应5重伯努利试验。设发热人数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $X\sim B(5,0.8)$。 “至少3人”包含 $X=3,4,5$ 三种互斥情况，分别利用二项分布概率通项公式计算后相加，最后按要求进行四舍五入精确到 0.01。

✅【答案】

Success

$0.94$

✍【详细解析】

Abstract

设这 5 人中出现发热反应的人数为随机变量 $X$。 由于每个人出现发热反应的概率相互独立且均为 $p=0.8$，则 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(5,0.8)$。 “至少有 3 人出现发热反应”对应的事件为 $X\ge 3$，其包含 $X=3,X=4,X=5$ 三种互斥情况。

分别计算对应的概率： $P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\times 0.8^3\times (1-0.8{)}^{5-3}=10\times 0.512\times 0.04=0.2048$ $P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\times 0.8^4\times (1-0.8{)}^{5-4}=5\times 0.4096\times 0.2=0.4096$ $P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)\times 0.8^5\times (1-0.8{)}^{5-5}=1\times 0.32768\times 1=0.32768$

将三种情况的概率相加： $P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$ $=0.2048+0.4096+0.32768=0.94208$

题目要求精确到 0.01，对结果保留两位小数得 $0.94$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项分布模型 $X\sim B(n,p)$ 的识别与概率通项公式计算。
• 核心方法：互斥事件分类求和法。
• 避坑指南：
• 易在小数高次方计算（如 $0.8^4,0.8^5$）或乘法合并时发生笔误。
• 注意审清题干中“精确到 0.01”的要求，若直接填写原始精确值 $0.94208$ 将不得分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的独立重复试验应用题，直接取材于人教A版选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中关于二项分布模型的课后实际应用练习。 结论推广: 对于“至少有 $k$ 个”发生的二项分布概率问题，当 $k$ 较接近 $n$ 时（如本题 $3,4,5$），采用直接分类求和更便捷；若 $k$ 较小（如“至少有1个”），则采用对立事件法 $1-P(X<k)$ 计算更为简便。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率
• 2007-江苏卷-17 解-独立重复试验概率