2006-湖北卷理-09 单-目标函数的几何意义与最值

本题导读

本题主要考查简单线性规划中的最优解性质。当目标函数在某个可行域内取得最值的点有无穷多个时，意味着目标函数直线系与可行域的某条边界重合，由此可通过斜率相等关系建立方程求解参数。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 已知平面区域 $D$ 由以 $A(1,3),B(5,2),C(3,1)$ 为顶点的三角形内部和边界组成. 若在区域 $D$ 上有无穷多个点 $(x,y)$ 可使目标函数 $z=x+my$ 取得最小值, 则 $m=$()

A. -2　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

目标函数 $z=x+my$ 可以变形为 $y=-\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$（当 $m\ne 0$ 时）。若有无穷多个点使 $z$ 取得最小值，则表示目标函数线与三角形可行域的某条边界线重合。 分别求出三角形三条边 $AB,BC,AC$ 所在直线的斜率，并分析目标函数在平移过程中何时能与边界线重合且取得的是最小值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先计算三角形三个顶点连线的斜率：

• 直线 $AB$ 的斜率为： $k_{AB}=\frac{2-3}{5-1}=-\frac{1}{4}$
• 直线 $BC$ 的斜率为： $k_{BC}=\frac{1-2}{3-5}=\frac{1}{2}$
• 直线 $AC$ 的斜率为： $k_{AC}=\frac{1-3}{3-1}=-1$

目标函数为 $z=x+my$。

• 若 $m=0$，则 $z=x$，此时目标函数为垂直于 $x$ 轴的直线，其在顶点 $A(1,3)$ 处 $x=1$ 最小，最优解点唯一，不符题意。
• 若 $m\ne 0$，目标函数可化为平行直线系： $y=-\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$，其斜率为 $k=-\frac{1}{m}$。

要在可行域 $D$ 上有无穷多个点使 $z$ 取得最小值，直线 $x+my=z$ 必须与三角形的某条边界重合。 下面分别讨论直线与各边重合时是否为最小值：

1. 若直线与 $AC$ 重合： 此时斜率相等， $-\frac{1}{m}=k_{AC}=-1⟹m=1$。 此时目标函数为 $z=x+y$。代入各顶点进行校验：

• $z_A=1+3=4$

• $z_C=3+1=4$

• $z_B=5+2=7$ 可见，在线段 $AC$ 上所有点处， $z$ 均取得最小值 4，满足“有无穷多个点取得最小值”的条件。

2. 若直线与 $AB$ 重合： 此时 $-\frac{1}{m}=k_{AB}=-\frac{1}{4}⟹m=4$。 目标函数为 $z=x+4y$。代入各顶点进行校验：

• $z_A=1+4\times 3=13$

• $z_B=5+4\times 2=13$

• $z_C=3+4\times 1=7$ 此时在线段 $AB$ 上取得的是最大值 13，而不是最小值（最小值为 7），不符题意。

3. 若直线与 $BC$ 重合： 此时 $-\frac{1}{m}=k_{BC}=\frac{1}{2}⟹m=-2$。 目标函数为 $z=x-2y$，即 $y=\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$。 代入各顶点进行校验：

• $z_B=5-2\times 2=1$
• $z_C=3-2\times 1=1$
• $z_A=1-2\times 3=-5$ 此时在线段 $BC$ 上取得的是最大值 1，而不是最小值（最小值为 -5），不符题意。

综上所述， $m=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划中目标函数的最值几何意义；无穷多个最优解对应直线与边界重合。
• 核心方法：斜率比对与顶点代入法。
• 避坑指南：很多同学只通过斜率相等求出 $m$ 的可能值（如 -2, 4, 1），就盲目挑选选项，容易将“最大值”与“最小值”混淆。必须通过将各顶点坐标代入目标函数进行验证，确保重合边界对应的确实是题目要求的最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查线性规划逆向思维的经典小题，取材于人教A版教材中关于平面区域与最优解的多解性探究。 结论推广: 对于三角形区域 $ABC$，若目标函数 $z=ax+by$ 在某条边上取得最值，则该直线的斜率 $-\frac{a}{b}$ 必然等于该边的斜率。判定是极大值还是极小值，只需将不属于该边的第三个顶点代入，若第三个顶点处的值比该边上的值大，则该边上取得的是极小值；反之，则为极大值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题
• 2008-北京卷理-05 单-线性规划