2006-湖北卷理-08 单-充分条件与必要条件

本题导读

本题考查有限集合中元素个数（基数）的基本性质与运算关系，并结合充要条件的判定考查逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 有限集合 $S$ 中元素的个数记作 $\text{card}(S)$，设 $A,B$ 都为有限集合，给出下列命题： ① $A\cap B=\varnothing$ 的充要条件是 $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)$； ② $A\subseteq B$ 的必要条件是 $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$； ③ $A⊈B$ 的充分条件是 $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$； ④ $A=B$ 的充要条件是 $\text{card}(A)=\text{card}(B)$． 其中真命题的序号是()

A. ③④　　　　　　　B. ①②　　　　　　　C. ①④　　　　　　　D. ②③

🔍【思路分析】

破题导航

利用有限集合的容斥原理公式 $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)$ 验证命题 ① 的充要性。 根据子集的定义判断当 $A\subseteq B$ 成立时是否必然包含 $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$，以验证命题 ② 的必要性。 通过构造具体反例来检验命题 ③ 和 ④ 的充分性或必要性是否成立。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 对命题 ① 分析：根据有限集合的容斥原理，对于任意两个有限集合 $A$ 和 $B$，恒有： $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)$ 当 $A\cap B=\varnothing$ 时， $\text{card}(A\cap B)=0$，显然有 $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)$ 成立（充分性）； 反之，若 $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)$，代入公式可得 $\text{card}(A\cap B)=0⟹A\cap B=\varnothing$（必要性）。故 ① 为真命题。
• 对命题 ② 分析：若 $A\subseteq B$，由于集合 $A$ 中的每一个元素都是 $B$ 中的元素，因此 $B$ 中元素的个数显然不少于 $A$ 中元素的个数，即 $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$ 必然成立。所以 $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$ 是 $A\subseteq B$ 的必要条件。故 ② 为真命题。
• 对命题 ③ 分析：充分条件要求由“ $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$”能推出“ $A⊈B$”。可以构造反例：设 $A=\{1\}$， $B=\{1,2\}$，此时 $\text{card}(A)=1\le \text{card}(B)=2$ 成立，但此时满足 $A\subseteq B$，并不能推出 $A⊈B$。故 ③ 为假命题。
• 对命题 ④ 分析：充要条件要求两边互推。若 $\text{card}(A)=\text{card}(B)$，两集合元素个数相等并不代表两集合相等。可以构造反例：设 $A=\{1\}$， $B=\{2\}$，此时 $\text{card}(A)=\text{card}(B)=1$，但 $A\ne B$。故 ④ 为假命题。

综上所述，真命题的序号是 ①②。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有限集合的容斥原理公式；集合包含、相等关系与元素个数的逻辑推导；充分条件与必要条件的严格判定。
• 核心方法：公式法与反例证伪法。
• 避坑指南：
• 极易在 ③ 和 ④ 中因直观感觉而犯错。特别注意 ④ 中“元素个数相等”只是“两集合相等”的必要不充分条件，集合相等不仅要求个数一样，还要求对应元素完全相同。
• 牢记条件的逻辑箭号方向：“ $p$ 是 $q$ 的必要条件”等价于 $q⟹p$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查集合基本概念与集合运算公式的高考经典小题，直接取材于人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于集合间关系和充要条件的复习习题。 结论推广: 本题涉及的有限集合元素个数研究在高等数学中称为有限集的基数（或势）。对于任意有限集合， $\text{card}(A)\le \text{card}(B)$ 是 $A\subseteq B$ 的必要不充分条件； $\text{card}(A)=\text{card}(B)$ 是 $A=B$ 的必要不充分条件。当且仅当在 $A\subseteq B$ 的大前提下， $\text{card}(A)=\text{card}(B)$ 才是 $A=B$ 的充要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-09 单-充分必要条件的判定
• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定