2006-湖北卷理-05 单-指数幂的运算性质

本题导读

本题考查二项式定理的应用。核心在于写出二项展开式的通项公式，通过对自变量 $x$ 的指数进行化简，将其转化为关于项数变量 $r$ 的整除性问题。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 在 ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{24}$ 的展开式中，$x$ 的幂的指数是整数的项共有()

A. 3 项　　　　　B. 4 项　　　　　C. 5 项　　　　　D. 9 项

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项公式 $T_{r+1}$，将根式写成非整数指数幂的形式：$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{1}{3}}$。 合并 $x$ 的指数，得到关于 $r$ 的代数式 $12-\frac{5r}{6}$。 根据指数为整数的要求，结合 $r\in \{0,1,2,\cdots ,24\}$，求出满足 $6\mid r$ 的 $r$ 的个数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将原式化为指数形式：${\left(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{3}}\right)}^{24}$。 根据二项式定理，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{r}\right){\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{24-r}{\left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)}^r(0\le r\le 24,r\in \mathbf{Z})$

对通项进行化简，分离系数与自变量 $x$： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{r}\right)(-1{)}^r\cdot x^{\frac{24-r}{2}}\cdot x^{-\frac{r}{3}}$ $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{r}\right)(-1{)}^r\cdot x^{12-\frac{r}{2}-\frac{r}{3}}$ $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{r}\right)(-1{)}^r\cdot x^{12-\frac{5r}{6}}$

要使 $x$ 的幂的指数是整数，则必须满足 $12-\frac{5r}{6}$ 为整数。 因为 12 是整数，所以 $\frac{5r}{6}$ 必须为整数。 由于 5 与 6 互质，故 $r$ 必须是 6 的倍数（即 $6\mid r$）。

又因为 $0\le r\le 24$ 且 $r\in \mathbf{Z}$， 所以 $r$ 的可能取值有：0, 6, 12, 18, 24，共 5 个。

因此， $x$ 的幂的指数是整数的项共有 5 项。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$；指数幂的运算法则及整除性判定。
• 核心方法：通项指数分析法。
• 避坑指南：
• 选定 $r$ 的范围时容易漏掉 $r=0$ 或 $r=24$ 这两个端点值。
• 注意区分“第几项”与“ $r$ 的值”：当 $r=0$ 时对应的是第 1 项，满足条件的整数项总数等于符合条件的 $r$ 的个数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查二项式定理通项中指数整除特征的经典题型，取材于人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于二项式定理的有理项、整数项分类探讨习题。 结论推广: 对于形如 ${\left(x^{\frac{1}{a}}\pm x^{-\frac{1}{b}}\right)}^n$ （ $a,b$ 为正整数）的二项展开式，其通项中 $x$ 的指数为 $\frac{n}{a}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)r$。若 $\frac{n}{a}$ 为整数，要使指数为整数，只需 $r$ 为 $\text{lcm}(a,b)$ 的倍数。在 $0\le r\le n$ 的范围内，整数项的个数为 $\lfloor \frac{n}{\text{lcm}(a,b)}\rfloor +1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁文-14 填-二项式整数次幂项
• 2007-江西卷理-04 单-二项式系数各项系数