2006-湖北卷理-04 单-分式不等式的解法

本题导读

本题主要考查复合函数定义域的求法以及分式不等式的解法。核心在于由原函数的定义域出发，构建关于自变量的不等式组并求解其交集。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 设 $f(x)=\lg \frac{2+x}{2-x}$，则 $f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{2}{x}\right)$ 的定义域为()

A. $(-4,0)\cup (0,4)$　　　　　　　　　　　　　　B. $(-4,-1)\cup (1,4)$

C. $(-2,-1)\cup (1,2)$　　　　　　　　　　　　　　D. $(-4,-2)\cup (2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

首先根据对数函数的真数大于零，求出原函数 $f(x)$ 的定义域。 根据复合函数的定义，分别令内层函数 $\frac{x}{2}$ 和 $\frac{2}{x}$ 处于原函数的定义域内，列出不等式组。 解不等式组并求两个范围的交集，确定最终的定义域。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对于函数 $f(x)=\lg \frac{2+x}{2-x}$，其真数必须大于零，即： $\frac{2+x}{2-x}>0⟹(2+x)(2-x)>0⟹x^2<4⟹-2<x<2$ 所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-2,2)$。

要使函数 $f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{2}{x}\right)$ 有意义，自变量 $x$ 需满足不等式组： $\{\begin{array}{l}-2<\frac{x}{2}<2\text{(1)}\\ -2<\frac{2}{x}<2\text{(2)}\end{array}$

解不等式 ①，得： $-4<x<4$

解不等式 ②，显然分母 $x\ne 0$，式子等价于： $\left|\frac{2}{x}\right|<2⟹|x|>1⟹x<-1\text{ 或 }x>1$ 即不等式 ② 的解集为 $x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$．

求两解集的交集，得： $x\in (-4,-1)\cup (1,4)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数函数的定义域条件（真数大于零）；复合函数“内层范围等于外层定义域”的映射规则。
• 核心方法：不等式组消元与交集法。
• 避坑指南：解分式不等式 $-2<\frac{2}{x}<2$ 时极易由于直接两边乘以 $x$ 导致忽略 $x$ 的正负号而出错，应当分 $x>0$ 和 $x<0$ 讨论，或者转化为绝对值不等式 $\left|\frac{2}{x}\right|<2$ 求解以规避符号陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查函数定义域基本功的经典小题，直接取材于人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》中关于对数型函数定义域的课后练习。 结论推广: 对于任何具有对称定义域 $(-a,a)$ 的函数 $f(x)$，函数 $f\left(\frac{x}{b}\right)+f\left(\frac{b}{x}\right)(a>0,b>0)$ 的定义域求解，均可转化为解不等式组 $\{\begin{array}{l}-a<\frac{x}{b}<a\\ -a<\frac{b}{x}<a\end{array}$。其通用解集结构为 $\left(-ab,-\frac{b}{a}\right)\cup \left(\frac{b}{a},ab\right)$。本题即为 $a=2,b=2$ 时的特例，解集为 $(-4,-1)\cup (1,4)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-03 单-对数型函数的定义域
• 2007-陕西文-02 单-对数函数定义域