2006-湖北卷理-02 单-方程组的解法与检验

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的基本性质。核心在于利用等差中项与等比中项的定义建立代数方程组，并通过题干中隐含的互异性条件对多解进行精确筛选。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 若互不相等的实数 $a,b,c$ 成等差数列， $c,a,b$ 成等比数列，且 $a+3b+c=10$，则 $a=$()

A. 4　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. -2　　　　　　　D. -4

🔍【思路分析】

破题导航

根据 $a,b,c$ 成等差数列，利用等差中项性质得 $a+c=2b$，代入已知线性方程中直接求出 $b$。 根据 $c,a,b$ 成等比数列，利用等比中项性质得 $a^2=cb$，将含有 $b$ 的代数式代入转化成关于 $a$ 的一元二次方程。 解方程求得 $a$ 的可能值，结合“互不相等的实数”这一条件进行检验，排除不合题意的解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为实数 $a,b,c$ 成等差数列，根据等差中项的性质有： $a+c=2b\text{(1)}$ 将 ① 代入已知方程 $a+3b+c=10$ 中，得： $(a+c)+3b=10⟹2b+3b=10⟹5b=10⟹b=2$ 将 $b=2$ 代入 ① 得： $a+c=4⟹c=4-a\text{(2)}$

又因为 $c,a,b$ 成等比数列，根据等比中项的性质有： $a^2=cb\text{(3)}$ 将 $b=2$ 及 ② 代入 ③ 中，得： $a^2=2(4-a)⟹a^2+2a-8=0$ 因式分解得： $(a+4)(a-2)=0⟹a=-4\text{ 或 }a=2$

条件检验：

• 若 $a=2$，由于已求得 $b=2$，此时 $a=b$，与题干中“互不相等的实数”矛盾，舍去；

• 若 $a=-4$，代入 ② 得 $c=4-(-4)=8$。此时 $a=-4,b=2,c=8$，三者互不相等，符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差中项公式 $2b=a+c$ 与等比中项公式 $a^2=cb$ 的综合列式。
• 核心方法：代数消元法与条件检验法。
• 避坑指南：极易由于忽视题干开头的“互不相等”限制，在解出一元二次方程得到 $a=2$ 时盲目确认，从而错选 (B) 项。在完成二次方程求解后，必须养成返回题干代入检验的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查等差、等比概念交叉融合的经典小题，取材于人教A版选择性必修第二册第四章《数列》中关于“等差数列与等比数列综合应用”的课后复习题。 结论推广: 若非零实数 $a,b,c$ 互不相等，且 $a,b,c$ 成等差数列， $c,a,b$ 成等比数列。通过消元 $a^2=2b(2b-a)⟹a^2+2ab-4b^2=0$，因式分解或求根公式在舍去 $a=b$ 的平庸解后，可推广出恒定比例： $a=-2b,c=4b$。本题求得 $b=2$ 后，可直接口算得出 $a=-2\times 2=-4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项
• 2014-天津卷文-05 单-等差等比数列