2006-湖北卷理-01 单-单位向量的定义

本题导读

本题主要考查平面向量的坐标运算、单位向量的定义以及向量数量积的坐标表示，通过建立方程组求解，并结合限制条件进行筛选。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 已知向量 $\vec{a}=(\sqrt{3},1)$， $\vec{b}$ 是不平行于 $x$ 轴的单位向量，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{3}$，则 $\vec{b}=$()

A. $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$　　　B. $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$　　　C. $\left(\frac{1}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$　　　D. $(1,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

设出向量 $\vec{b}$ 的坐标为 $(x,y)$，根据其为单位向量列出满足的模长方程 $x^2+y^2=1$。 根据数量积的坐标运算公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$ 联立方程组，求出两组解。 利用 $\vec{b}$ 不平行于 $x$ 轴（即纵坐标 $y\ne 0$）剔除不合题意的解，确定最终选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设向量 $\vec{b}=(x,y)$。 由于 $\vec{b}$ 为单位向量，则有： $x^2+y^2=1\text{(1)}$ 又由 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{3}$ 且 $\vec{a}=(\sqrt{3},1)$，得： $\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}⟹y=\sqrt{3}(1-x)\text{(2)}$ 将 ② 代入 ① 中，得： $x^2+3(1-x{)}^2=1⟹4x^2-6x+2=0⟹2x^2-3x+1=0$ 解此一元二次方程，得 $x=1$ 或 $x=\frac{1}{2}$。

• 当 $x=1$ 时，代入 ② 得 $y=0$，此时 $\vec{b}=(1,0)$，其平行于 $x$ 轴，与题意不符，舍去；

• 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，代入 ② 得 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时 $\vec{b}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量的坐标表示、数量积公式及单位向量的定义（模长为 1）。
• 核心方法：代数方程组法。
• 避坑指南：极易由于忽视“不平行于 $x$ 轴”这一限制条件，而在求得 $x=1,y=0$ 时误选 (D) 项。平行于 $x$ 轴的非零向量其纵坐标必然为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高考对平面向量基础代数运算的经典考查，取材于人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于“平面向量的坐标运算”与“数量积”的课后基础习题。 结论推广: 若已知 $\vec{a}=(m,n)$， $\vec{b}=(x,y)$ 为单位向量且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=m$，则可列出方程组 $x^2+y^2=1$ 与 $mx+ny=m$。消元后必有一根为 $x=1,y=0$（即与 $x$ 轴平行的单位向量），另一根可通过二次方程的韦达定理直接解得，用以快速处理此类选择题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2007-山东文-05 单-向量垂直求模
• 2012-江西卷文-12 填-单位向量垂直求值