2006-湖北文-14 填-限制排列计数

本题导读

本题考查排列组合，以及限制排列。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 安排 $5$ 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是　　　　。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记”甲不第一”且”乙不最后”。
2. 总排列 $5!=120$。
3. 甲第一：其余 4 人任意排 $4!=24$；乙最后：$4!=24$。
4. 甲第一且乙最后：中间 3 人排 $3!=6$。
5. 容斥：$120-24-24+6=78$。

✅【答案】

Success

$78$

✍【详细解析】

Abstract

设甲为”某名歌手”、乙为”另一名歌手”． 总排列数 $5!=120$． 甲第一个出场：$4!=24$；乙最后一个出场：$4!=24$；甲第一个且乙最后一个：$3!=6$． 由容斥原理，符合要求的排法数为 $120-24-24+6=78.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：限制排列计数

核心方法：总 $5!=120$，减”甲第一”$4!$、“乙最后”$4!$，加回”甲第一且乙最后”$3!$，得 $78$

避坑指南：容斥原理：交集部分减两次要加回一次；“某人""另一人”是两个人

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 限制排列计数，排列组合

结论推广: 容斥：总数减两类不合条件加回交集

方法推广: 限制排列优先用容斥或分类，勿漏交集加回

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-11 单-限制排列
• 2008-天津文-16 填-卡片排列计数
• 2010-重庆卷文-10 单-排列容斥计数
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型