2006-浙江卷理-18 解-对立事件的概率公式

本题导读

本题考查古典概型与独立事件的概率计算。第一问通过两袋独立选球的组合数直接相乘求解；第二问“至少”问题采用对立事件思想转化为“不到 2 个红球”的情形，建立关于 $n$ 的一元二次方程求解。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 甲，乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球， 2 个白球，乙袋装有 2 个红球， $n$ 个白球. 现从甲，乙两袋中各任取 2 个球.

(1) 若 $n=3$，求取到的 4 个球全是红球的概率；

(2) 若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为 $\frac{3}{4}$，求 $n$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：当 $n=3$ 时，甲袋有 4 球，乙袋有 5 球。两袋取球相互独立。分别计算两袋各取 2 个红球的概率，利用独立事件乘法公式求积。 第二问：设取到的红球总数为 $X$。“至少有 2 个红球”即 $X\ge 2$，其对立事件为 $X<2$（即含有 0 个或 1 个红球）。利用 $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=\frac{3}{4}⟹P(X=0)+P(X=1)=\frac{1}{4}$ 分类列出含有 $n$ 的代数分式方程求解。

✅【答案】

Success

（1）从甲袋任取两个球，取到红球数分别为0，1，2的概率为P(X=0)=C₂⁰C₂²

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）当 $n=3$ 时， 乙袋中装有 2 个红球， 3 个白球，共 5 个球。 设“从甲袋中取出的 2 个球全是红球”为事件 $A$， “从乙袋中取出的 2 个球全是红球”为事件 $B$。 根据古典概型与组合数公式： $P(A)=\frac{{\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_4^2}=\frac{1}{6}$ $P(B)=\frac{{\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_5^2}=\frac{1}{10}$ 由于甲、乙两袋取球事件相互独立， 则 4 个球全是红球的概率为： $P=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{60}$

（2）设从甲袋中取出的红球个数为 $X_1$， 从乙袋中取出的红球个数为 $X_2$。 则取到的红球总数为 $X=X_1+X_2$， 且 $X_1,X_2\in \{0,1,2\}$。 根据古典概型， 甲袋（2红2白）中取球的概率分布为： $P(X_1=0)=\frac{{\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_4^2}=\frac{1}{6},P(X_1=1)=\frac{{\text{C}}_2^1{\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_4^2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},P(X_1=2)=\frac{{\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_4^2}=\frac{1}{6}$

乙袋（2红 $n$ 白）中共 $n+2$ 个球， 选 2 个的总基本事件数为 ${\text{C}}_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$。 $P(X_2=0)=\frac{{\text{C}}_n^2}{{\text{C}}_{n+2}^2}=\frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$ $P(X_2=1)=\frac{{\text{C}}_2^1{\text{C}}_n^1}{{\text{C}}_{n+2}^2}=\frac{4n}{(n+2)(n+1)}$

“取到的 4 个球中至少有 2 个红球”的对立事件为“取到的红球个数为 0 或 1”。 由对立事件概率公式得： $P(X=0)+P(X=1)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

分别计算这两种互斥情况的概率：

• 情况一： $X=0$（即 $X_1=0$ 且 $X_2=0$） $P(X=0)=\frac{1}{6}\times \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$
• 情况二： $X=1$（即 $X_1=1,X_2=0$ 或 $X_1=0,X_2=1$） $P(X=1)=\frac{4}{6}\times \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}+\frac{1}{6}\times \frac{4n}{(n+2)(n+1)}$

两式相加并合并同分母项： $P(X=0)+P(X=1)=\frac{5}{6}\times \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}+\frac{4n}{6(n+2)(n+1)}=\frac{5n(n-1)+4n}{6(n+2)(n+1)}=\frac{5n^2-n}{6(n+2)(n+1)}$

令其等于 $\frac{1}{4}$， 建立方程： $\frac{5n^2-n}{6(n+2)(n+1)}=\frac{1}{4}⟹4(5n^2-n)=6(n+2)(n+1)$ 两边约去 2 展开整理： $2(5n^2-n)=3(n^2+3n+2)⟹10n^2-2n=3n^2+9n+6$ $7n^2-11n-6=0$ 因式分解得： $(7n+3)(n-2)=0$ 由于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$， 舍去负根 $n=-\frac{3}{7}$， 解得： $n=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立事件同时发生的概率乘法、古典概型组合数模型、对立事件放缩降维思想。
• 核心方法：正难则反对立事件法。
• 避坑指南：
• 第二问如果正面求解 $X=2,3,4$ 三种情况，组合多项式将极其繁琐且极易漏项。看到“至少”字眼，第一时间无脑采用“正难则反”转化为 $X=0,1$ 求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

（1）从甲袋任取两个球，取到红球数分别为0，1，2的概率为P(X=0)=C₂⁰C₂²

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2009-北京文-17 解-独立事件概率