2006-浙江卷理-16 解-不等式的性质

本题导读

本题考查二次函数的性质与一元二次方程根的分布。第一问通过已知不等式将常数 $c$ 消去，转化为关于 $a,b$ 的不等式组，从而证明开口方向及比值范围；第二问利用第一问求出的开口方向、顶点的横坐标范围以及判别式（或区间端点与最值），证明方程在给定区间内有两个互异实根。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 设 $f(x)=3a{x}^2+2bx+c$. 若 $a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0$，求证：

(1) $a>0$ 且 $-2<\frac{b}{a}<-1$；

(2) 方程 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个实根.

🔍【思路分析】

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第一问：

• 由 $f(0)>0⟹c>0$。
• 由 $f(1)>0⟹3a+2b+c>0$。
• 已知 $a+b+c=0⟹c=-(a+b)$。代入上述两个不等式中，消除 $c$，得到关于 $a$ 和 $b$ 的不等式组，进而证明结论。 第二问：
• 方程 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个实根，需要满足三个刚性条件：① 开口向上且判别式 $\Delta >0$；② 对称轴 $x_0=-\frac{2b}{2\times 3a}=-\frac{b}{3a}$ 必须位于区间 $(0,1)$ 内；③ 区间端点值 $f(0)>0$ 且 $f(1)>0$。
• 或者是利用二次函数在顶点的最值小于 0，结合两端点值大于 0 进行证明。

✅【答案】

Success

（1）由a+b+c=0，得c=−a−b.由f(0)>0得a+b<0,

✍【详细解析】

Abstract

证明：（1）由已知条件可得： $f(0)=c>0\text{(1)}$ $f(1)=3a+2b+c>0\text{(2)}$ 因为 $a+b+c=0$， 变形可得： $c=-(a+b)\text{(3)}$

将③式代入①式中： $-(a+b)>0⟹a+b<0⟹b<-a\text{(4)}$ 将③式代入②式中： $3a+2b-(a+b)>0⟹2a+b>0⟹b>-2a\text{⑤}$

综合④和⑤可得关于 $b$ 的不等式链： $-2a<b<-a$ 由于上述不等式两侧的跨度为 $(-2a)-(-a)=-a$，要保证不等式合法存在， 必须满足： $-2a<-a⟹a>0$

既然 $a>0$， 在不等式 $-2a<b<-a$ 各项同时除以正数 $a$， 不等号方向保持不变： $-2<\frac{b}{a}<-1$ 原命题获证。

（2）因为 $a>0$， 所以二次函数 $f(x)=3a{x}^2+2bx+c$ 的图象是一条开口向上的抛物线。 其对称轴方程为： $x_0=-\frac{2b}{2\times 3a}=-\frac{b}{3a}=\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)$ 由（1）问已知 $-2<\frac{b}{a}<-1⟹1<-\frac{b}{a}<2$。 两边同时乘以 $\frac{1}{3}$， 锁定对称轴的范围： $\frac{1}{3}<x_0<\frac{2}{3}$ 显然， 对称轴 $x_0$ 严格位于区间 $(0,1)$ 的内部。

下面计算抛物线顶点（最低点）的纵坐标值。二次函数的极小值为： $f(x_0)=f\left(-\frac{b}{3a}\right)=3a{\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2+2b\left(-\frac{b}{3a}\right)+c=\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c=c-\frac{b^2}{3a}$ 由于 $c=-(a+b)$， 代入上式中： $f(x_0)=-(a+b)-\frac{b^2}{3a}=-\frac{3a^2+3ab+b^2}{3a}=-\frac{a^2+ab+(a^2+2ab+b^2)}{3a}=-\frac{a^2+ab+(a+b{)}^2}{3a}$ 由于较为繁琐，直接使用判别式 $\Delta$ 证明更直观： $\Delta =(2b{)}^2-4\times 3a\times c=4b^2-12ac$ 将 $c=-(a+b)$ 代入判别式： $\Delta =4b^2-12a[-(a+b)]=4b^2+12a^2+12ab=4(b^2+3ab+3a^2)=4\left[{\left(b+\frac{3}{2}a\right)}^2+\frac{3}{4}{a}^2\right]$ 因为 $a>0⟹\frac{3}{4}{a}^2>0$， 且平方项 ${\left(b+\frac{3}{2}a\right)}^2\ge 0$， 所以： $\Delta >0$ 这说明方程 $f(x)=0$ 必然有两个互异的实数根。

结合题目已知条件： $\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ \frac{1}{3}<x_0<\frac{2}{3}\subset (0,1)\\ f(0)>0\\ f(1)>0\end{array}$ 根据二次函数根的分布定理， 开口向上、判别式大于0、对称轴在区间内且两端点值均为正， 能够刚性锁死抛物线与 $x$ 轴的两个交点必须全部位于该区间内部。

所以，方程 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个实根。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：含参不等式组的代数消元与范围平移、二次函数在给定区间内拥有两实根的三个刚性判据（判别式、对称轴、端点值）。
• 核心方法：代数消元法、根的分布控制法。
• 避坑指南：
• 第二问证明在 $(0,1)$ 内有两个根，不仅要证明 $\Delta >0$，对称轴和端点值这两个边界制约条件缺一不可。单凭 $\Delta >0$ 只能说明有两个根，无法锁定两根都在区间内部。

📖【试题探源与推广】

Tip

（1）由a+b+c=0，得c=−a−b.由f(0)>0得a+b<0,

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-21 解-含参二次函数区间零点
• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点