2006-浙江卷理-14 填-异面直线的夹角与旋转倾角

本题导读

本题考查正四面体在平行于某侧棱的平面上的正投影面积变化规律。通过分析空间旋转的临界位置，确定射影图形面积的最大与最小值。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 正四面体 $ABCD$ 的棱长为 1，棱 $AB\parallel$ 平面 $\alpha$，则正四面体上的所有点在平面 $\alpha$ 内的射影构成的图形面积的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

确立正投影的空间模型：

• 因为棱 $AB\parallel$ 平面 $\alpha$，整个正四面体在平面 $\alpha$ 内的投影，等价于四面体向一个平行于 $AB$ 的投影面投射。由于 $AB$ 平行于投影面，其投影线段 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 的长度保持为原长 1。
• 正四面体 4 个顶点的投影 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ 围成一个平面四边形（或退化为三角形）。 用极端位置法求边界： 整个正四面体可以绕平行于平面 $\alpha$ 的轴 $AB$ 旋转。在旋转过程中，考察对棱 $CD$ 相对投影面的姿态：
• 极端位置一：当对棱 $CD$ 也平行于平面 $\alpha$ 时，$AB$ 与 $CD$ 均平行于底面，且由于正四面体对棱异面垂直， $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp C^{\prime }{D}^{\prime }$，投影四边形为对角线垂直的正方形。此时投影面积最大。
• 极端位置二：当某个侧面（如 $△ABC$）垂直于平面 $\alpha$ 时，该侧面投影为一条线段，整个投影图形退化为三角形，面积最小。 定量计算极值：
• 极大值：正方形对角线均为 1，求其面积。
• 极小值：侧面垂直时，底面三角形的底与高。

✅【答案】

Success

$\left[\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为正四面体 $ABCD$ 的棱长为 1，且棱 $AB\parallel$ 平面 $\alpha$， 所以正四面体在平面 $\alpha$ 内的正投影，是随正四面体绕 $AB$ 轴旋转时各顶点投影形成的多边形。 在所有投影姿态中，投影线段 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 的长度恒为 1。

下面通过空间旋转过程中的两个临界状态来求解面积的边界范围：

• 求相关几何量： 正四面体中，异面直线 $AB$ 与 $CD$ 的公垂线段长度（即两棱中点的距离）满足： $d_{\text{公}}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

• 第一种临界状态：当对棱 $CD$ 也平行于平面 $\alpha$ 时（最大面积） 由于正四面体的对棱两两异面垂直，当 $AB\parallel \alpha$ 且 $CD\parallel \alpha$ 时， 它们在平面 $\alpha$ 内的射影 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 与 $C^{\prime }{D}^{\prime }$ 相互垂直，且长度均为原长 1。 此时 4 个顶点的投影 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ 构成一个对角线互相垂直平分且长度均为 1 的正方形。 该图形的面积为： $S_{\text{max}}=\frac{1}{2}\times A^{\prime }{B}^{\prime }\times C^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$

• 第二种临界状态：当侧面 $△ABC$ 或 $△ABD$ 垂直于平面 $\alpha$ 时（最小面积） 当侧面 $△ABC$ 旋转至与平面 $\alpha$ 垂直的位置时，该侧面上的所有点在平面 $\alpha$ 内的射影退化到同一条线段上（即 $△ABC$ 的投影为一条长度等于其高 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的线段）。 此时，整个正四面体的正投影图形退化为一个平面三角形。 该三角形以 $A^{\prime }{B}^{\prime }=1$ 为底边，其对应的高等于对棱公垂线的长度 $d_{\text{公}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 此时投影面积最小： $S_{\text{min}}=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

由于空间旋转过程中，投影多边形的顶点变化是连续的，故射影图形面积随之连续变化。 因此，射影图形面积的取值范围为： $S\in \left[\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{2}\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正四面体对棱垂直与公垂线长度、空间投影面积的极端位置分析。
• 核心方法：极端位置法。
• 避坑指南：
• 正投影的最大面积通常在对称位置时取得，最小面积在某侧面垂直于投影面时取得。抓住这两个临界位置即可求出面积范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题为正四面体正投影面积的范围问题，考查空间想象能力与极端位置分析。 结论推广: 求立体图形正投影面积的取值范围，通常先固定一条棱与投影面平行，再绕该棱旋转，找出面积最大与最小的临界位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质
• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷理-14 填-正射影
• 2012-陕西卷(理)-18 解-线面垂直与投影