2006-浙江卷理-13 填-向量模长平方恒等变换

本题导读

本题考查向量数量积的综合运算。核心在于利用已知的向量代数方程以及垂直带来的点积为零特征，将目标式 $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2$ 展开并化简，最终全部无损还原为已知常数进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 设向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0},(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{c},\vec{a}\perp \vec{b}$，若 $|\vec{a}|=1$，则 $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

翻译垂直条件为点积：

• $\vec{a}\perp \vec{b}⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=0$；
• $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{c}⟹(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{b}\cdot \vec{c}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$。 利用和为零向量消元：由 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}⟹\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$。 求解未知的模长平方：将 $\vec{c}$ 的代数式代入垂直约束中，解出 $|\vec{b}{|}^2$ 的大小，进而通过平方展开式将所有项全部求出并累加。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

解：将题目给定的几何垂直关系转化为严格的向量点积代数式： 因为 $\vec{a}\perp \vec{b}$， 故： $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\text{(1)}$ 因为 $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{c}$， 故： $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{b}\cdot \vec{c}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}\text{(2)}$

由已知条件 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ 可得移项式： $\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$ 将其分别与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 作数量积点乘，代入式①： $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot [-(\vec{a}+\vec{b})]=-{\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}{|}^2-0=-|\vec{a}{|}^2$ $\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot [-(\vec{a}+\vec{b})]=-\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2=0-|\vec{b}{|}^2=-|\vec{b}{|}^2$

根据等式②， $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}$，将上述两计算结果代入比对： $-|\vec{a}{|}^2=-|\vec{b}{|}^2⟹|\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2$ 已知 $|\vec{a}|=1$， 故直接求得： $|\vec{b}{|}^2=1^2=1$

再对 $\vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})$ 两边进行平方运算， 求解 $|\vec{c}{|}^2$： $|\vec{c}{|}^2=[-(\vec{a}+\vec{b}){]}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$ 代入已知数据 $|\vec{a}{|}^2=1,|\vec{b}{|}^2=1$ 以及 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$： $|\vec{c}{|}^2=1+2\times 0+1=2$

最终将三项模长平方值统一相加求和： $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2=1+1+2=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量垂直的代数转化、零向量整体代换消元、模长平方展开式（ ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$）。
• 核心方法：整体代换展开法。
• 避坑指南：
• 本题具有极其巧妙的几何背景：由于 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，这三条向量首尾相接构成一个封闭三角形。
• 由 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 知该三角形是直角三角形；由 $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{c}$ 可推知该直角三角形两条直角边相等（等腰直角三角形），斜边 $\vec{c}$ 满足勾股定理 $|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$。
• 掌握此几何模型，无需动笔即可直接口算： $1+1+2=4$，能实现大幅提速。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源

这是”三个向量和为零”的最简模型：和为零，三条向量首尾相接就围成一个封闭三角形，$|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$、$|\vec{c}|$ 正是三边长。题给的两个垂直条件各管一件事：$\vec{a}\perp \vec{b}$ 说明 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是直角；$(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{c}$ 里的 $\vec{a}-\vec{b}$ 是从 $\vec{b}$ 的终点指向 $\vec{a}$ 的终点的向量，它垂直于第三边，等于说这个三角形是等腰的，两条直角边一样长。

2. 结论推广

三条向量和为零且 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 时，勾股定理直接给出 $|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$；再补上 $(\vec{a}-\vec{b})\perp \vec{c}$，就进一步得到 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，此时 $|\vec{c}|=\sqrt{2}|\vec{a}|$。反过来也成立：由 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ 与 $|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ 可推出 $\vec{a}\perp \vec{b}$。

3. 方法推广

目标式是几个模的平方和时，先问”谁是可以被代换掉的”：本题 $\vec{c}$ 由另两个向量决定，写成 $-\left(\vec{a}+\vec{b}\right)$ 代进去，平方一展开就只剩 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的模与数量积。凡是”和为零”的条件，第一步都是代换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-13 填-向量垂直与模
• 2012-安徽卷文-11 填-向量垂直求模