2006-浙江卷理-12 填-几何法

本题导读

本题考查新定义最大值函数的最值。$f(x)=\max \{|x+1|,|x-2|\}$ 表示数轴上动点 $x$ 到 $-1$ 与 2 两定点距离的较大者。分析两距离随 $x$ 的变化规律，求其最小值。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 对 $a,b\in \mathbf{R}$，记 $\max \{a,b\}=\{\begin{array}{l}a,a\ge b\\ b,a<b\end{array}$，函数 $f(x)=\max \{|x+1|,|x-2|\}$ ($x\in \mathbf{R}$) 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

解析绝对值几何意义：

• $|x+1|$ 表示数轴上动点 $x$ 到定点 $-1$ 的距离 $d_1$；
• $|x-2|$ 表示数轴上动点 $x$ 到定点 2 的距离 $d_2$。 分析较大者的变化规律：
• 当 $x$ 位于 $-1$ 与 2 的中点左侧时，到 2 的距离更远， 此时 $f(x)=|x-2|$；
• 当 $x$ 位于中点右侧时，到 $-1$ 的距离更远， 此时 $f(x)=|x+1|$；
• 两条斜率相反的直线交点处（即中点处），较大者达到最小值。 求解交点最值：令 $|x+1|=|x-2|$，求出中点坐标，代入算出对应的距离。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$ （或 1.5）

✍【详细解析】

Abstract

解：根据绝对值的几何意义，设数轴上有两定点 $M(-1)$ 和 $N(2)$。 则 $|x+1|$ 代表动点 $x$ 到点 $M$ 的距离， $|x-2|$ 代表动点 $x$ 到点 $N$ 的距离。 函数 $f(x)=\max \{|x+1|,|x-2|\}$ 表示取这两个距离中的较大者。

两定点 $M(-1)$ 与 $N(2)$ 之间的距离为： $|MN|=|2-(-1)|=3$ 两定点的中点横坐标为： $x_0=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$

• 当 $x<\frac{1}{2}$ 时，动点离右侧的定点 $N(2)$ 更远， 故 $f(x)=|x-2|=2-x$（单调递减）；

• 当 $x>\frac{1}{2}$ 时，动点离左侧的定点 $M(-1)$ 更远， 故 $f(x)=|x+1|=x+1$（单调递增）。

由于函数在中点左侧单调递减，右侧单调递增， 因此，当动点 $x$ 位于中点 $x=\frac{1}{2}$ 时，两侧距离相等，较大者取得最小值： $f(x{)}_{\text{min}}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\left|\frac{1}{2}+1\right|=\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值距离函数图象的特征、分段函数最低点的确定。
• 核心方法：数轴中点几何法、图象法。
• 避坑指南：
• 两个绝对值函数取最大值，其图象呈“V”形，最低点在两函数相等的交点处（即两定点的中点）取得。直接求中点代入即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题为新定义最大值函数的最值问题，考查绝对值距离的几何意义。 结论推广: 对 $f(x)=\max \{|x-a|,|x-b|\}$（$a<b$），其最小值在 $x=\frac{a+b}{2}$ 处取得，最小值为 $\frac{|b-a|}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-09 单-绝对值最值
• 2015-湖北卷文-17 填-绝对值函数最值