2006-浙江卷理-11 填-联立方程组求解基本量

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和公式的代数应用。核心在于利用已知的 $S_5$ 与 $S_{10}$ 建立关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的二元一次方程组，消元解出公差。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_5=10,S_{10}=-5$，则公差为$\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

套用求和基本公式：等差数列求和公式为 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。 构建二元方程组：

• 将 $n=5,S_5=10$ 代入： $5a_1+10d=10⟹a_1+2d=2$；
• 将 $n=10,S_{10}=-5$ 代入： $10a_1+45d=-5⟹2a_1+9d=-1$。 消元求解公差 $d$：加减消元法直接求解。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

解：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 根据等差数列的前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，代入已知条件：

对于 $S_5=10$： $5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=10⟹5a_1+10d=10$ 两边同除以 5，简化为： $a_1+2d=2\text{(1)}$

对于 $S_{10}=-5$： $10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=-5⟹10a_1+45d=-5$ 两边同除以 5，简化为： $2a_1+9d=-1\text{(2)}$

联立方程①与②组成方程组。由①式可得 $a_1=2-2d$，代入②式中： $2(2-2d)+9d=-1$ $4-4d+9d=-1$ $5d=-5⟹d=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列求和通式的代数变形与方程组消元基础。
• 核心方法：基本量代入法。
• 避坑指南：
• 本题也可用等差数列片段和性质秒杀： $S_5,S_{10}-S_5,S_{15}-S_{10}$ 构成等差数列，公差为 $25d$。

📖【试题探源与推广】

Tip

$-1$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-14 填-等差数列求和
• 2010-浙江卷理-15 填-等差数列