2006-浙江卷理-08 单-赋值法 泰勒展开移轴

本题导读

本题考查多项式展开式中特定项系数的求解。核心在于利用换元法进行自变量的整体平移，将繁琐的 $(x+1)$ 幂次多项式转化为标准的单自变量二项式展开模型。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 若多项式 $x^2+x^{10}=a_0+a_1(x+1)+\cdots +a_9(x+1{)}^9+a_{10}(x+1{)}^{10}$，则 $a_9=$()

A. 9　　　　　　　B. 10　　　　　　　C. $-9$　　　　　　　D. $-10$

🔍【思路分析】

破题导航

整体换元平移：观察等式右侧，所有多项式的基底均为 $(x+1)$。为了简化构型，令 $t=x+1$，则 $x=t-1$。 重构等式左侧：将 $x=t-1$ 代入左侧多项式中，得到 $(t-1{)}^2+(t-1{)}^{10}$。 锁定目标系数：右侧的 $a_9$ 对应的是 $t^9$ 项的系数。利用二项式定理分别展开 $(t-1{)}^2$ 和 $(t-1{)}^{10}$，找出其中包含 $t^9$ 的项，合并其系数即为 $a_9$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：令 $t=x+1$，则自变量可逆代换为 $x=t-1$。 将此换元关系整体代入已知恒等式中： $\text{右侧}=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+\cdots +a_9{t}^9+a_{10}{t}^{10}$ $\text{左侧}=(t-1{)}^2+(t-1{)}^{10}$

要计算多项式中的系数 $a_9$， 对应于求左侧多项式展开后 $t^9$ 项的系数。 我们对左侧的两部分分别进行二项式定理展开分析：

• 第一部分 $(t-1{)}^2$： 展开为 $t^2-2t+1$，其最高次幂仅为 2， 绝不包含 $t^9$ 项（对应系数为 0）。
• 第二部分 $(t-1{)}^{10}$： 根据二项式定理，其通项公式为 $T_{r+1}={\text{C}}_{10}^r\cdot t^{10-r}\cdot (-1{)}^r$。 为了获得 $t^9$ 项， 令 $10-r=9⟹r=1$。 代入可得该项为： ${\text{C}}_{10}^1\cdot t^9\cdot (-1{)}^1=10\cdot (-1)\cdot t^9=-10t^9$

综合两部分， 左侧展开式中 $t^9$ 的系数为 $-10$。 根据多项式对应项系数相等的原理： $a_9=-10$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：多项式平移换元技术、二项式定理通项中负号常数的乘方运算。
• 核心方法：全式换元法。
• 避坑指南：
• 使用二项式定理展开 $(t-1{)}^{10}$ 时，千万不要漏掉后面的负号项 $(-1{)}^r$。如果忽视了负号，极易误选成正的 10（B 选项）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自微积分中多项式在 $x=-1$ 处的**泰勒展开式（或麦克劳林级数平移）**的代数变形。 结论推广: 针对任意多项式 $P(x)$ 展开为 $\sum a_k(x-x_0{)}^k$ 的形态， 其各项系数 $a_k$ 严格等于函数在 $x_0$ 处的 $k$ 阶导数除以 $k$ 的阶乘，即 $a_k=\frac{P^{(k)}(x_0)}{k!}$。本题中 $P(x)=x^2+x^{10}$，其 9 阶导数为 $P^{(9)}(x)=10\times 9\times \cdots \times 2\times x=10!\cdot x$。代入 $x_0=-1$ 得 $P^{(9)}(-1)=-10!$。则 $a_9=\frac{-10!}{9!}=-10$。利用此高等数学高观点，可不建系、不换元直接秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-05 单-二项式系数和的赋值法
• 2007-江西卷理-04 单-二项式系数各项系数