2006-浙江卷理-05 单-双曲线的第二定义

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与离心率定义。核心在于利用双曲线第二定义（圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比值等于离心率 $e$），建立几何常数 $a,b,c$ 之间的比例关系，进而反解出参数 $m$。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 若双曲线 $\frac{x^2}{m}-y^2=1$ 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 $\frac{1}{3}$，则 $m=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{8}$　　　　　　　D. $\frac{9}{8}$

🔍【思路分析】

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解读第二定义：根据双曲线的第二定义，双曲线上的任意点到焦点的距离 $d_{\text{焦}}$ 与到对应准线的距离 $d_{\text{准}}$ 的比值满足 $\frac{d_{\text{焦}}}{d_{\text{准}}}=e$（离心率）。 提取离心率 $e$：题目给定“到左准线的距离是到左焦点距离的 $\frac{1}{3}$”，即 $\frac{d_{\text{准}}}{d_{\text{焦}}}=\frac{1}{3}⟹\frac{d_{\text{焦}}}{d_{\text{准}}}=3$。由此直接锁定该双曲线的离心率 $e=3$。 建立常数方程：由方程 $\frac{x^2}{m}-y^2=1$ 属于焦点在 $x$ 轴上的标准型，可知 $a^2=m,b^2=1$。利用 $c^2=a^2+b^2=m+1$ 结合离心率通式 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=3^2=9$ 列出关于 $m$ 的方程并求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设双曲线上的动点为 $P$，左焦点为 $F$，左准线为 $l$。 根据圆锥曲线的统一第二定义， 动点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于其离心率 $e$，即： $\frac{|PF|}{|Pl|}=e$

题目中指出： “点到左准线的距离是到左焦点距离的 $\frac{1}{3}$”， 翻译成代数等式为： $|Pl|=\frac{1}{3}|PF|⟹\frac{|PF|}{|Pl|}=3$ 根据定义比对， 直接求得该双曲线的离心率： $e=3⟹e^2=9$

分析双曲线的标准方程 $\frac{x^2}{m}-y^2=1$， 因为实轴项系数为正， 故焦点分布在 $x$ 轴上。 可以提取出几何基本量： $a^2=m,b^2=1$ 根据双曲线中的勾股平方关系， 半焦距满足： $c^2=a^2+b^2=m+1$

将基本量代入离心率的平方通式中： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{m+1}{m}$ 令其等于已知常量 9， 建立关于 $m$ 的一元一次方程： $\frac{m+1}{m}=9⟹m+1=9m⟹8m=1$ 解得： $m=\frac{1}{8}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线第二定义（焦准距离比）、双曲线几何常数 $a^2,b^2,c^2$ 的代数提取、离心率公式的消元求值。
• 核心方法：常数等价还原法。
• 避坑指南：
• 极其容易混淆距离比值的分子与分母。第二定义中离心率严格定义为“焦点距离 $÷$ 准线距离”。题目中文字表述是反过来的（准线比焦点），必须敏锐求取倒数得到 $e=3$，防止错当成 $e=1/3$（注：双曲线的离心率 $e$ 刚性大于 1）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查了解析几何中关于双曲线第二定义的特质，属于考查常数定义理解的经典选择题。 结论推广: 针对任何标准横轴双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若其真数比值满足 $d_{\text{准}}=\frac{1}{k}{d}_{\text{焦}}$，则离心率恒定满足 $e=k$，且虚实轴比例常数满足 $m=a^2=\frac{b^2}{k^2-1}$。本题直接套用此推广： $m=\frac{1}{3^2-1}=\frac{1}{8}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-新课标Ⅰ文-13 填-双曲线的离心率（渐近线距离）
• 2012-江西卷文-08 单-椭圆等比条件离心率