2006-浙江卷理-03 单-不等式的性质与比较大小

本题导读

本题导定义 本题考查对数函数的单调性及数轴大小判定。核心在于利用底数 $0<a<1$ 时对数函数单调递减的性质，将对数不等式无损转化为真数之间的不等式。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 已知 $0<a<1$， ${\log }_{a}m<{\log }_{a}n<0$，则()

A. $1<n<m$　　B. $1<m<n$　　C. $m<n<1$　　D. $n<m<1$

🔍【思路分析】

破题导航

分析底数单调性：已知底数 $0<a<1$，说明对数函数 $y={\log }_{a}x$ 在其定义域 $(0,+\infty )$ 上是严格的单调递减函数。 转化常数项 0：将不等式右侧的 0 写成对数形式： $0={\log }_{a}1$。 脱去对数符号：由于函数单调递减，自变量（真数）的大小顺序与对数函数值的单调方向相反。去掉 ${\log }_a$ 后，不等号方向必须强制发生翻转。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为已知底数范围满足 $0<a<1$， 所以对数函数 $y={\log }_{a}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上为严格的单调递减函数。

将已知的不等式 ${\log }_{a}m<{\log }_{a}n<0$ 中的常数项 0 进行同底数对数化： $0={\log }_{a}1$ 由此原不等式链可以等价改写为： ${\log }_{a}m<{\log }_{a}n<{\log }_{a}1$

根据对数函数在 $0<a<1$ 时的严格单调递减性质，真数越大，对数函数值反而越小。 因此， 脱去对数符号 ${\log }_a$ 时， 不等号的方向必须全部发生强制翻转： $m>n>1$ 调整书写顺序即为： $1<n<m$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数函数的单调性与底数范围的联动、对数不等式的脱对数规则。
• 核心方法：单调性翻转法、特值法（在考场上可直接令 $a=\frac{1}{2}$。由 ${\log }_{\frac{1}{2}}m<{\log }_{\frac{1}{2}}n<0$，可取特值 ${\log }_{\frac{1}{2}}m=-2⟹m=4$； ${\log }_{\frac{1}{2}}n=-1⟹n=2$。显然满足 $1<2<4$，即 $1<n<m$，可秒杀此题）。
• 避坑指南：
• 底数 $0<a<1$ 是极易被粗心忽略的死穴。如果不看底数范围误当成 $a>1$ 算，会直接错选成 C。牢记底数小于 1 时去对数号必须变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自高中数学必修一指数与对数函数性质的比较大小，考查对基本函数单调性的掌握。 结论推广: 针对任何形式的对数不等式 ${\log }_{a}f(x)<{\log }_{a}g(x)$：① 若 $a>1$，则 $0<f(x)<g(x)$；② 若 $0<a<1$，则 $f(x)>g(x)>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-07 单-不等式综合大小比较
• 2007-江苏卷-09 单-比值最值与均值不等式