2006-浙江卷理-02 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数方程求解。核心在于利用复数相等的充要条件，通过将分母移项转为乘法展开，或分子分母同除实数化，分离出实部与虚部反解未知数。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 已知 $\frac{m}{1+\text{i}}=1-n\text{i}$，其中 $m,n$ 是实数， $\text{i}$ 是虚数单位，则 $m+n\text{i}=$()

A. $1+2\text{i}$　　　　B. $1-2\text{i}$　　　　C. $2+\text{i}$　　　　D. $2-\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

方程移项变形：将分母 $1+\text{i}$ 移项至等式右侧，化分式为整式乘法： $m=(1-n\text{i})(1+\text{i})$。 多项式展开：利用 ${\text{i}}^2=-1$ 展开右侧多项式，整理成实部与虚部分离的标准结构。 复数相等解方程：根据左侧 $m$ 是实数（虚部为0），令右侧虚部为 0 求出 $n$，再利用实部对应求出 $m$，最终得到 $m+n\text{i}$ 的值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：将已知复数分式方程 $\frac{m}{1+\text{i}}=1-n\text{i}$ 两边同时乘以分母 $(1+\text{i})$，得： $m=(1-n\text{i})(1+\text{i})$

将右侧的多项式按复数乘法则展开： $m=1\times 1+1\times \text{i}-n\text{i}\times 1-n{\text{i}}^2$ $m=1+\text{i}-n\text{i}-n(-1)$ 将实部与虚部分类汇总结构： $m=(1+n)+(1-n)\text{i}$

因为 $m,n$ 是实数，左侧的 $m$ 为纯实数，意味着其虚部必定严格为 0。 根据两个复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）， 建立联立方程组： $\{\begin{array}{l}1+n=m\\ 1-n=0\end{array}$ 由第二式直接解得： $n=1$ 将 $n=1$ 代入第一式， 解得： $m=1+1=2$

将求得的 $m=2,n=1$ 代入目标代数式： $m+n\text{i}=2+\text{i}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数相等的代数特征、复数多项式乘法展开、 ${\text{i}}^2=-1$ 的符号归拢。
• 核心方法：移项乘法消元法。
• 避坑指南：
• 展开 $-n\text{i}\cdot \text{i}=-n{\text{i}}^2$ 时，由于 ${\text{i}}^2=-1$， 结果应为 $+n$。切忌因看错符号导致方程系数出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查复数的基本代数四则运算，属于标准高频基础概念题。 结论推广: 针对任何形式满足 $\frac{m}{a+b\text{i}}=c+d\text{i}$ 且 $m$ 为实数的构型， 其本质是要求两复数互为共轭比例，虚部分量满足刚性对消。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-03 单-共轭复数复数相等充要条件
• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算