2006-浙江文-17 解-四棱锥垂直与线面角

本题导读

本题考查空间向量。核心在于建系证垂直再算线面角。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面为直角梯形，$AD\parallel BC$，$\angle BAD=90^{\circ }$，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PA=AD=AB=2BC$，$M$，$N$ 分别为 $PC$，$PB$ 的中点。

(1) 求证：$PB\perp DM$；

(2) 求 $BD$ 与平面 $ADMN$ 所成的角。

🔍【思路分析】

破题导航

(1)

1. 取 $PA=AD=AB=2$，$BC=1$，建系：$A(0,0,0)$，$B(0,2,0)$，$D(2,0,0)$，$C(1,2,0)$，$P(0,0,2)$。
2. $M=\left(\frac{1}{2},1,1\right)$，$N=(0,1,1)$。
3. $\overrightarrow{PB}=(0,2,-2)$，$\overrightarrow{DM}=\left(-\frac{3}{2},1,1\right)$，数量积 $=0+2-2=0$，垂直得证。 (2)
4. $\overrightarrow{AD}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{AN}=(0,1,1)$，平面 $ADMN$ 方程 $y=z$，法向量 $\vec{n}=(0,1,-1)$。
5. $\overrightarrow{BD}=(2,-2,0)$，$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{BD}||\vec{n}|}=\frac{2}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
6. $\theta =\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

取长度单位使 $PA=AD=AB=2$，于是 $BC=1$。 建立空间直角坐标系，使底面 $ABCD$ 在 $z=0$ 平面内， 并取 $A=(0,0,0)$，$B=(0,2,0)$，$D=(2,0,0)$，$C=(1,2,0)$，$P=(0,0,2)$。 于是 $M=\left(\frac{1}{2},1,1\right)$，$N=(0,1,1)$。

(1) 有 $\overrightarrow{PB}=(0,2,-2)$，$\overrightarrow{DM}=\left(-\frac{3}{2},1,1\right)$， 因此 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DM}=0+2-2=0$，所以 $PB\perp DM$。

(2) 由 $\overrightarrow{AD}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{AN}=(0,1,1)$，可知平面 $ADMN$ 的方程为 $y=z$， 其一个法向量为 $\vec{n}=(0,1,-1)$。 取 $\overrightarrow{BD}=(2,-2,0)$，设 $BD$ 与平面 $ADMN$ 所成的角为 $\theta$， 则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{BD}||\vec{n}|}=\frac{2}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。 由于线面角为锐角或直角，所以 $\theta =\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥垂直与线面角

核心方法：建系证垂直再算线面角

避坑指南：$PA=AD=AB=2$，$BC=1$ 建系；$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DM}=0$ 证垂直；平面 $ADMN$ 法向量 $(0,1,-1)$，$\sin \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{6}$；线面角取正弦

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自四棱锥线线垂直与线面角的向量解法，立体几何标准题

结论推广: 建系后垂直证数量积、线面角用正弦公式，推广到各类棱锥

方法推广: 线面角 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$，别误用余弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-19 解-四棱锥垂直与二面角
• 2009-天津文-19 解-四棱锥线面角