2006-浙江文-16 解-正弦型图象与向量夹角

本题导读

本题考查三角函数的图象。核心在于定参求点再算数量积。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 如图，函数 $y=2\sin (\pi x+\phi )$，$x\in \mathbf{R}$（其中 $0⩽\phi ⩽\frac{\pi }{2}$）的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$。

(1) 求 $\phi$ 的值；

(2) 设 $P$ 是图象上的最高点，$M$，$N$ 是图象与 $x$ 轴的交点，求 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角。

🔍【思路分析】

破题导航

(1)

1. 图象过 $(0,1)$：$2\sin \phi =1$，$\sin \phi =\frac{1}{2}$。
2. 由 $0⩽\phi ⩽\frac{\pi }{2}$ 得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。 (2)
3. 最高点满足 $\pi x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，图中最高点 $P\left(\frac{1}{3},2\right)$。
4. 相邻零点满足 $\pi x+\frac{\pi }{6}=k\pi$：$M\left(-\frac{1}{6},0\right)$，$N\left(\frac{5}{6},0\right)$。
5. $\overrightarrow{PM}=\left(-\frac{1}{2},-2\right)$，$\overrightarrow{PN}=\left(\frac{1}{2},-2\right)$。
6. $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{PN}|}=\frac{15}{17}$，$\theta =\arccos \frac{15}{17}$。

✅【答案】

Success

(1) $\phi =\frac{\pi }{6}$

(2) $\theta =\arccos \frac{15}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$，得 $2\sin \phi =1$。 又因为 $0⩽\phi ⩽\frac{\pi }{2}$，所以 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

(2) 函数取得最大值时，$\pi x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，所以图中最高点为 $P\left(\frac{1}{3},2\right)$。 图中与 $P$ 相邻的两个 $x$ 轴交点满足 $\pi x+\frac{\pi }{6}=k\pi$，故 $M\left(-\frac{1}{6},0\right)$，$N\left(\frac{5}{6},0\right)$。 于是 $\overrightarrow{PM}=\left(-\frac{1}{2},-2\right)$，$\overrightarrow{PN}=\left(\frac{1}{2},-2\right)$。 设夹角为 $\theta$，则 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=-\frac{1}{4}+4=\frac{15}{4}$， 且 $|\overrightarrow{PM}|=|\overrightarrow{PN}|=\frac{\sqrt{17}}{2}$。 因而 $\cos \theta =\frac{15/4}{(\sqrt{17}/2{)}^2}=\frac{15}{17}$， 从而 $\theta =\arccos \frac{15}{17}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型图象与向量夹角

核心方法：定参求点再算数量积

避坑指南：$2\sin \phi =1$ 得 $\phi =\frac{\pi }{6}$；最高点 $P\left(\frac{1}{3},2\right)$，$M\left(-\frac{1}{6},0\right)$，$N\left(\frac{5}{6},0\right)$，$\cos \theta =\frac{15}{17}$；夹角公式分母是模的乘积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角函数图象与向量夹角的综合，图象定点+向量运算

结论推广: 由图象特征定 $\phi$ 与关键点坐标，再用夹角公式，推广到图象与几何结合类题

方法推广: 最高点与零点横坐标由相位方程解出，向量夹角代余弦公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-18 解-三角函数图象求参
• 2011-浙江卷文-15 填-向量夹角范围