2006-浙江文-12 填-二倍角与正弦值域

本题导读

本题考查二倍角公式，以及正弦函数的值域。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 函数 $y=2\sin x\cos x-1$，$x\in \mathbf{R}$ 的值域是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，得 $y=\sin 2x-1$。
2. 因为 $-1⩽\sin 2x⩽1$。
3. 所以 $-2⩽y⩽0$。

✅【答案】

Success

$[-2,0]$

✍【详细解析】

Abstract

利用 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，得 $y=\sin 2x-1$。 因为 $-1⩽\sin 2x⩽1$，所以 $-2⩽y⩽0$。 当 $\sin 2x=-1$ 或 $1$ 时分别取得两个端点，故值域为 $[-2,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与正弦值域

核心方法：降幂化为基本正弦

避坑指南：$2\sin x\cos x=\sin 2x$，$y=\sin 2x-1\in [-2,0]$；先降幂再定整体范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二倍角公式与正弦函数值域，降幂基础题

结论推广: $y=a\sin 2x+b$ 型值域 $[b-|a|,b+|a|]$，推广到组合角形式

方法推广: 先把 $2\sin x\cos x$ 收成 $\sin 2x$ 再定范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-12 填-诱导二倍角
• 2009-上海卷文-10 填-二倍角最小值