2006-浙江文-06 单-三次函数区间最值

本题导读

本题考查导数的应用，以及函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值是 ()

A. $-2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。
2. 在 $[-1,0]$ 上 $f^{\prime }⩾0$（增），在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime }⩽0$（减）。
3. 最大值只可能在 $x=-1$、$x=0$ 处取得。
4. $f(-1)=-2$，$f(0)=2$，故最大值为 $2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。 在 $[-1,0]$ 上 $f^{\prime }(x)⩾0$，函数递增；在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime }(x)⩽0$，函数递减。 所以最大值只需比较 $x=-1$、$x=0$、$x=1$ 处的函数值。 计算得 $f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(1)=0$，故最大值为 $2$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数区间最值

核心方法：导数定单调再比端点

避坑指南：$f^{\prime }(x)=3x(x-2)$，$[-1,0]$ 增、$[0,1]$ 减，最大值在 $x=0$：$f(0)=2$；闭区间最值必比较端点与极值点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自导数应用入门题，三次函数闭区间最值的标准考查

结论推广: 导数定单调区间后端点与极值点比大小，推广到含参三次函数最值

方法推广: 闭区间最值候选点只有端点与驻点，逐一比较即可

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值
• 2009-湖北卷文-21 解-导数最值恒成立